[论文解读] Horizon energy as the boost boundary term in general relativity and loop gravity

Eugenio Bianchi, Wolfgang Wieland|arXiv (Cornell University)|May 24, 2012

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 15被引用 21

一句话总结

本文表明，Frodden、Ghosh 和 Perez 所提出的视界能量在 BF 变量中的爱因斯坦-嘉当作用量加入霍尔斯特项时，作为洛伦兹提升边界项出现。通过自旋泡沫变量，推导出 Carlip-Teitelboim 视界哈密顿量，并证明圈量子引力实现了视界薛定谔方程，将视界哈密顿量识别为量子提升生成元，从而将视界热力学与圈量子引力动力学联系起来。

ABSTRACT

We show that the near-horizon energy introduced by Frodden, Ghosh and Perez arises from the action for general relativity as a horizon boundary term. Spin foam variables are used in the analysis. The result provides a derivation of the horizon boost Hamiltonian introduced by one of us to define the dynamics of the horizon degrees of freedom, and shows that loop gravity provides a realization of the horizon Schrodinger equation proposed by Carlip and Teitelboim.

研究动机与目标

• 从广义相对论的作用量原理推导 Frodden、Ghosh 和 Perez 所引入的视界能量。
• 证明 Carlip-Teitelboim 视界哈密顿量作为爱因斯坦-嘉当作用量中加入霍尔斯特项在 BF 变量下的角部边界项出现。
• 建立圈量子引力对 Carlip 和 Teitelboim 所提出的视界薛定谔方程的量子实现。
• 证明圈量子引力中的视界哈密顿量确实是量子提升生成元，而非仅与面积算符成正比。

提出的方法

• 分析使用了在 BF 变量中的爱因斯坦-嘉当作用量加入霍尔斯特项，表达为 $ I_4 = \frac{1}{2}\int_{M_4} \left( \frac{1}{2}\epsilon_{IJKL}B^{KL} + \frac{1}{\gamma}B_{IJ} \right) \wedge F^{IJ}(\omega) $。
• 推导出边界项 $ I_3 $ 和角部项 $ I_2 $，以确保在存在内边界（如黑洞视界）时变分原理的合理性。
• 角部项 $ I_2 = -\int_{M_2} \left( \frac{1}{2}\epsilon_{IJKL}B^{KL} + \frac{1}{\gamma}B_{IJ} \right) n^I z^J \eta $ 被识别为视界提升哈密顿量。
• 与洛伦兹连接共轭的正则动量为 $ \Pi_{IJ} = \frac{1}{2}\epsilon_{IJKL}B^{KL} + \frac{1}{\gamma}B_{IJ} $，该量定义了自旋泡沫面上的量子提升生成元 $ \hat{H} = \sum_f \hbar K_z^f $。
• 视界哈密顿量被量化为 $ \hat{H} = \sum_f \hbar K_z^f $，其中 $ K_z^f $ 是沿方向 $ z^I $ 的提升生成元，能量为 $ \hat{E} = \hat{H} \ell^{-1} $。

实验结果

研究问题

• RQ1 Frodden、Ghosh 和 Perez 所推导的视界能量如何从广义相对论的经典作用量中产生？
• RQ2 Carlip-Teitelboim 视界哈密顿量能否作为爱因斯坦-嘉当作用量中加入霍尔斯特项的边界项推导出来？
• RQ3 圈量子引力是否提供了对带有提升生成元的视界薛定谔方程的量子实现？
• RQ4 圈量子引力中的视界哈密顿量是否确实是量子提升生成元，它与简单的面积算符有何不同？

主要发现

• 作用量中的角部项 $ I_2 $ 再现了 Carlip-Teitelboim 视界哈密顿量，证实其在视界附近作为提升生成元的角色。
• Frodden、Ghosh 和 Perez 推导出的视界能量 $ E = \frac{A}{8\pi G} \ell^{-1} $ 恰好作为在适当时间 $ t = \eta \ell $ 下角部项的期望值重现，从而与提升参数建立联系。
• 量子视界哈密顿量 $ \hat{H} = \sum_f \hbar K_z^f $ 被识别为提升生成元的自旋泡沫量化，为视界薛定谔方程提供了动力学实现。
• 视界哈密顿量并非与面积算符成正比，因为它不与旋转对易，能量-面积关系仅通过期望值出现。
• 能量与面积的离散性由视界能量-面积不确定性关系控制，与圈量子引力的量子动力学一致。
• 提升哈密顿量是引力本身的基本属性，不依赖于特定观察者，因其源于作用量中的几何边界项。