[论文解读] Horizon entropy consistent with FLRW equations for general modified theories of gravity and for all EoS of the matter field

Shin’ichi Nojiri, Sergei D. Odintsov+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 11, 2023

Cosmology and Gravitation Theories被引用 4

一句话总结

本文提出了一种适用于宇宙学视界表面的修正热力学定律 $TdS = -dE + \rho dV$，该定律解决了标准形式 $TdS = -dE + WdV$ 在非相对论性物质（$\omega \neq -1$）情形下的不一致性。新定律使广义视界熵得以建立，从而在所有状态方程下一致地将弗里德曼方程与任意修正引力理论联系起来，实现了爱因斯坦引力与高斯-博内特引力之外的宇宙学与热力学的统一。

ABSTRACT

The question that continues to hinge the interrelation between cosmology and thermodynamics is broadly described as -- what is the form of horizon entropy that links the Friedmann equations for a "$general$" gravity theory with the underlying thermodynamics of the apparent horizon? The answer to this question was known only for Einstein's gravity and for $(n+1)$ dimensional Gauss-Bonnet gravity theory, but not for a general modified theory of gravity (for instance, the $F(R)$ gravity). In the present work, we take this issue and determine a general form of entropy that connects the Friedmann equations for any gravity theory with the apparent horizon thermodynamics given by $TdS = -dE + WdV$ (the symbols have their usual meaning in the context of entropic cosmology and $W = \left(ρ- p ight)/2$ is the work density of the matter fields represented by $ρ$ and $p$ as the energy density and the pressure, respectively). Using such generalized entropy, we find the respective entropies for several modified theories of gravity (including the $F(R)$ gravity). Further, it turns out that besides the above-mentioned question, the thermodynamic law $TdS = -dE + WdV$ itself has some serious difficulties for certain values of $ω$ (the EoS of matter field). Thus we propose a modified thermodynamic law of apparent horizon, given by $TdS = -dE + ρdV$, that is interestingly free from such difficulties. The modified law proves to be valid for all EoS of the matter field and thus is considered to be more general compared to the previous one which, however, is a limiting case of the modified law for $p = -ρ$. Based on such modified thermodynamics, we further determine a generalized entropy that can provide the Friedmann equations of any general gravity theory for all values of EoS of the matter field. The further implications are discussed.

研究动机与目标

• 解决标准热力学定律 $TdS = -dE + WdV$ 在视界热力学中对非相对论性物质场（$\omega \neq -1$）的不一致性问题。
• 推导一种广义视界熵，使其能一致地将任意引力理论的弗里德曼方程与视界热力学联系起来。
• 建立一个适用于所有状态方程（$\omega$）的统一框架，包括暴胀后重加热阶段的 $\omega > 1/3$ 情形，此前的公式在此失效。
• 证明新热力学定律 $TdS = -dE + \rho dV$ 仅在 $\omega = -1$（类宇宙学常数物质）时退化为标准形式。

提出的方法

• 通过将修正热力学定律 $TdS = -dE + \rho dV$ 作为基本公设，推导广义视界熵。
• 利用守恒律 $\dot{\rho} + 3H(\rho + p) = 0$ 和弗里德曼-勒梅特-罗伯逊-沃尔克（FLRW）方程，将熵演化与哈勃参数及尺度因子关联。
• 施加熵必须对任意引力理论（包括 $F(R)$、高斯-博内特及更高曲率模型）重现弗里德曼方程的条件。
• 通过推导熵演化中出现非物理结果，证明标准 $WdV$ 项在 $\omega \neq -1$ 时（特别是 $\omega > 1/3$）导致不一致。
• 证明新定律中的 $\rho dV$ 项可避免这些不一致，使所有 $\omega$ 值下均可一致推导熵。
• 验证当 $\omega = -1$ 时，新熵公式退化为带有 $\omega$-依赖系数的贝肯斯坦-霍金形式，确认在极限情形下的一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 为何标准热力学定律 $TdS = -dE + WdV$ 在视界热力学中对 $\omega \neq -1$ 的物质场会失效？
• RQ2 能否构建一种统一的热力学定律，使其在一般引力理论中对所有状态方程均一致地将弗里德曼方程与视界热力学联系起来？
• RQ3 正确的广义视界熵是什么？它必须能对任意修正引力理论和所有 $\omega$ 值重现弗里德曼方程。
• RQ4 新热力学定律 $TdS = -dE + \rho dV$ 与标准 $WdV$ 形式有何不同？为何其具有更普遍的有效性？
• RQ5 新熵公式是否在爱因斯坦引力极限下退化为贝肯斯坦-霍金熵？若是，其条件为何？

主要发现

• 标准热力学定律 $TdS = -dE + WdV$ 在 $\omega > 1/3$ 时失效，导致熵推导中出现不一致，尤其在标量场宇宙学的重加热阶段表现明显。
• 所提出的修正定律 $TdS = -dE + \rho dV$ 消除了此类不一致，对所有状态方程参数 $\omega$ 均有效，包括 $\omega = 0$（尘埃）和 $\omega = 1/3$（辐射）。
• 在爱因斯坦引力情形下，新熵公式给出类似贝肯斯坦-霍金的形式，但带有 $\omega$-依赖的系数，表明在非相对论性区域与标准熵存在偏离。
• 由新热力学定律导出的广义熵能对任意修正引力理论（包括 $F(R)$ 和高斯-博内特引力）在所有 $\omega$ 值下成功重现弗里德曼方程。
• 新公式将热力学与宇宙学统一，超越了 $\omega = -1$ 的限制，为暗能量与早期宇宙宇宙学提供了统一且一致的框架。
• 由新定律导出的 $F(R)$ 引力及其他修正理论的熵不类似于黑洞熵形式，表明在修正引力中视界热力学解释发生了根本性转变。