[论文解读] Horizontal normal map on the Heisenberg group

Andrea Calogero, R. Pini|ArXiv.org|Nov 14, 2008

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 16被引用 16

一句话总结

本文引入了海森堡群上函数的水平次微分与法映射，证明了凸函数在每一点处具有非空的H-次微分，并证明了严格凸径向函数的H-法映射具有单调性。此外，通过H-法映射定义了Monge–Ampère测度，并将Rockafellar的积分定理推广至子黎曼几何设定。

ABSTRACT

We investigate the notion of H-subdifferential and H-normal map of a function on the Heisenberg group, based on its sub-Riemannian structure. In particular, a characterization of the convexity of a function is given via the nonemptiness of the H-subdifferential at every point.

研究动机与目标

• 将次微分与法映射理论从欧几里得空间推广至海森堡群的子黎曼几何设定。
• 研究凸函数的关键性质（如次微分非空性与法映射单调性）在海森堡群中是否成立。
• 通过H-法映射定义Monge–Ampère测度，并将经典积分结果推广至该设定。
• 建立海森堡群上凸函数的子黎曼版Rockafellar积分公式。

提出的方法

• 通过海森堡群的水平结构与水平梯度∇hu(g) = (Xu(g), Yu(g))，定义水平次微分∂Hu(g)。
• 通过在每一点g ∈ ℍ处∂Hu(g)非空来刻画凸性，推广欧几里得情形的结果。
• 证明在满足额外正则性条件的严格凸径向函数下，H-法映射∂Hu是单调的。
• 证明∂Hu将紧集的像映射为V₁中的紧集，保持与欧几里得情形相同的拓扑性质。
• 通过H-法映射下勒贝格测度的拉东-尼科迪姆导数，定义函数u的Monge–Ampère测度。
• 通过证明∫_K |det D_H u| dL^3 = ∫_{∂Hu(K)} |p| dp（其中K ⊂ ℍ为紧集，D_H u为水平Hessian矩阵），推广Rockafellar的积分公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否基于海森堡群的子黎曼结构，有意义地将次微分与法映射概念推广至该群？
• RQ2 在海森堡群中，是否每一点处H-次微分非空可刻画凸性，如同在欧几里得空间中一样？
• RQ3 在海森堡群中，严格凸径向函数的H-法映射是否具有单调性？
• RQ4 能否通过H-法映射定义Monge–Ampère测度，使其保持关键的积分恒等式？
• RQ5 Rockafellar的Monge–Ampère测度积分公式在多大程度上可推广至海森堡群？

主要发现

• 对于凸函数，其H-次微分∂Hu(g)在每一点g ∈ ℍ处均非空，推广了欧几里得情形的结果。
• 当且仅当水平梯度X u(g₀)存在时，g₀处的H-次微分为单点集。
• 对于满足额外正则性条件的严格凸径向函数，H-法映射是单调的。
• H-法映射∂Hu将ℍ的任意紧子集的像映射为V₁中的紧子集。
• 函数u的Monge–Ampère测度可通过H-法映射下勒贝格测度的拉东-尼科迪姆导数来定义。
• Rockafellar积分公式的推广成立：对任意紧集K ⊂ ℍ，有∫_K |det D_H u| dL^3 = ∫_{∂Hu(K)} |p| dp。