[论文解读] Hormander condition for Fourier multipliers on compact Lie groups

Véronique Fischer|arXiv (Cornell University)|Oct 20, 2016

Advanced Harmonic Analysis Research被引用 11

一句话总结

该论文通过在紧致李群的单位酉对偶上利用群傅里叶变换引入矩阵值符号的Hörmander型条件，建立了紧致李群上的Lp乘子定理。它在单位酉对偶上定义齐次Sobolev空间，证明该条件蕴含乘子算子的Lp有界性，且该结果是精确的，并由此推导出Mihlin与Marcinkiewicz型定理。

ABSTRACT

In this paper, we show Lp-multiplier theorems on any compact Lie group G. The multiplier operators are given via the group Fourier transforms and the symbols are fields of matrices on the unitary dual of G. We develop structures on this dual, such as homogeneous Sobolev spaces. These allow us to define a condition of Hormander type which we show implies the Lp-boundedness of the corresponding operators and is sharp. We also obtain multiplier theorems of Mihlin and Marcinkiewicz types as a consequence.

研究动机与目标

• 将Lp乘子定理推广至经典设定之外的紧致李群。
• 在紧致李群的单位酉对偶上，为矩阵值符号定义Hörmander型条件。
• 利用该条件建立傅里叶乘子算子的精确Lp有界性。
• 作为主要结果的推论，推导出Mihlin与Marcinkiewicz型乘子定理。

提出的方法

• 利用群傅里叶变换，通过紧致李群单位酉对偶上的矩阵值符号表示乘子算子。
• 在单位酉对偶上构造齐次Sobolev空间，以度量符号的光滑性。
• 定义涉及单位酉对 Dual 上符号可积性与衰减性质的Hörmander型条件。
• 证明该条件蕴含相应乘子算子的Lp有界性。
• 通过构造反例或对偶性论证，证明该条件的精确性。
• 利用主要的Hörmander型结果，作为推论推导出Mihlin与Marcinkiewicz型定理。

实验结果

研究问题

• RQ1 在紧致李群的单位酉对偶上，矩阵值符号需满足何种条件，才能保证其关联的傅里叶乘子算子的Lp有界性？
• RQ2 如何在紧致李群的单位酉对 Dual 上有意义地定义并使用齐次Sobolev空间？
• RQ3 在单位酉对偶上定义的Hörmander型条件能否导出紧致李群上精确的Lp乘子定理？
• RQ4 经典Mihlin与Marcinkiewicz乘子定理在多大程度上可推广至紧致李群的设定？
• RQ5 在非交换、非欧几里得的设定下，该Hörmander型条件对Lp有界性是否最优？

主要发现

• 在紧致李群的单位酉对偶上，Hörmander型条件可确保关联的傅里叶乘子算子的Lp有界性。
• 该条件是精确的，即若其被削弱，则一般情况下Lp有界性将不成立。
• 在单位酉对偶上构造了齐次Sobolev空间，为乘子条件提供了泛函分析框架。
• Mihlin与Marcinkiewicz型乘子定理作为主要Hörmander型结果的推论被重新获得。
• 该框架可统一适用于所有紧致李群，推广了欧氏调和分析中的经典结果。