[论文解读] Horofunction Compactifications of Symmetric Spaces

Thomas Haettel, Anna-Sofie Schilling+2 more|arXiv (Cornell University)|May 14, 2017

Advanced Algebra and Geometry参考文献 6被引用 7

一句话总结

本文证明了非紧型对称空间的所有广义Satake紧化均可通过多面体G-不变Finsler度量实现为horofunction紧化。关键结果表明，此类度量的单位球面是表示τ的权的凸包的对偶，且该度量下对称空间的horofunction紧化即为与τ相关的广义Satake紧化。这为经典及广义Satake紧化提供了度量理论构造。

ABSTRACT

We consider horofunction compactifications of symmetric spaces with respect to invariant Finsler metrics. We show that any (generalized) Satake compactification can be realized as a horofunction compactification with respect to a polyhedral Finsler metric.

研究动机与目标

• 建立非紧型对称空间广义Satake紧化的度量理论实现。
• 证明任意广义Satake紧化均可作为某个G-不变多面体Finsler度量下的horofunction紧化。
• 通过表示权的凸包的对偶，刻画实现给定广义Satake紧化的Finsler度量。
• 通过将其与经典几何紧化联系起来，拓展对称空间中horofunction紧化的理解。

提出的方法

• 利用Cartan分解$G = KAK$将对称空间horofunction紧化的研究归约为对最大平坦子空间$F \cong \mathbb{R}^k$的紧化研究。
• 通过在最大平坦子代数$\mathfrak{a} \cong \mathbb{R}^k$中指定一个Weyl群不变的多面体单位球面，定义对称空间$X = G/K$上的G-不变Finsler度量。
• 构造Finsler度量，使其在$\mathfrak{a}$中的单位球面为$-\operatorname{conv}(\mu_1, \dots, \mu_k)$的对偶，其中$\mu_i$是表示$\tau: G \to \mathrm{PSL}(n,\mathbb{C})$的权。
• 证明该Finsler度量下对称空间$X$的horofunction紧化同构于广义Satake紧化$\overline{X}_\tau^S$。
• 利用凸性引理及几乎测地线与Busemann点的性质，分析horofunction边界结构。
• 证明在horofunction紧化中，最大平坦子空间$F \subset X$的闭包同构于该平坦子空间在诱导范数下的horofunction紧化。

实验结果

研究问题

• RQ1 所有非紧型对称空间的广义Satake紧化是否均可实现为某个G-不变Finsler度量下的horofunction紧化？
• RQ2 何种精确的Finsler度量，其horofunction紧化可实现给定的广义Satake紧化？
• RQ3 表示$\tau$的权多面体的几何结构如何决定其关联的horofunction紧化的结构？
• RQ4 广义Satake紧化与其通过对偶多面体实现的horofunction紧化之间是否存在对偶性？

主要发现

• 任意非紧型对称空间$X = G/K$的广义Satake紧化$\overline{X}_\tau^S$同构于某个G-不变多面体Finsler度量$d$下的horofunction紧化$\overline{X}_d^{\text{hor}}$。
• 实现$\overline{X}_\tau^S$的Finsler度量在最大平坦子代数$\mathfrak{a} \cong \mathbb{R}^k$中的单位球面为$-\operatorname{conv}(\mu_1, \dots, \mu_k)$的对偶，其中$\mu_i$是表示$\tau$的权。
• 在诱导的Weyl群不变Finsler范数下，对称空间中最大平坦子空间$F \subset X$的horofunction紧化同构于$\mathbb{R}^k$在该范数下的horofunction紧化。
• 当表示$\tau$的最高权位于正规方向时，权多面体$D = \operatorname{conv}(W(\mu_\tau))$为$n-1$维的排列多面体。
• 当最高权位于Weyl壁上时，多面体$D$为奇异的，其对偶$B = -D^\circ$具有不同的组合结构，例如在$\mathrm{SL}(4,\mathbb{C})$情形下具有14个顶点和12个面。
• 定义对偶广义Satake紧化$\overline{X}_\tau^{S*}$为Finsler度量下的horofunction紧化，其单位球面为$D = \operatorname{conv}(\mu_1, \dots, \mu_k)$，暗示$\overline{X}_\tau^S$与$\overline{X}_\tau^{S*}$之间存在对偶关系。