[论文解读] Hotelling-Downs Model with Limited Attraction

Weiran Shen, Zihe Wang|arXiv (Cornell University)|Nov 18, 2016

Economic theories and models参考文献 15被引用 9

一句话总结

本文研究了一个具有有限吸引力的广义Hotelling-Downs模型，其中参与者在受限的空间范围内竞争客户。该研究在支持效用和胜者效用设定下证明了纯纳什均衡的存在性，为公平性和无效率价格（price of anarchy）提供了紧致界，并通过潜在博弈理论和效用函数的结构分析，将先前针对均匀客户分布的结果扩展至任意客户分布。

ABSTRACT

In this paper we study variations of the standard Hotelling-Downs model of spatial competition, where each agent attracts the clients in a restricted neighborhood, each client randomly picks one attractive agent for service. Two utility functions for agents are considered: support utility and winner utility. We generalize the results by Feldman et al. to the case where the clients are distributed arbitrarily. In the support utility setting, we show that a pure Nash equilibrium always exists by formulating the game as a potential game. In the winner utility setting, we show that there exists a Nash equilibrium in two cases: when there are at most 3 agents and when the size of attraction area is at least half of the entire space. We also consider the price of anarchy and the fairness of equilibria and give tight bounds on these criteria.

研究动机与目标

• 分析在参与者具有有限吸引力范围且客户分布任意的空间竞争博弈中，纯纳什均衡的存在性。
• 将先前针对支持效用和胜者效用模型的研究结果，从均匀客户分布推广至一般分布。
• 通过无效率价格和公平性度量量化效率损失，适用于支持效用设定。
• 在有限吸引力条件下，为均衡状态下的公平性和效率建立紧致的理论界。

提出的方法

• 将支持效用博弈建模为潜在博弈，通过最优响应动态收敛性证明纯纳什均衡的存在性。
• 使用结构分析和基于案例的推理，证明当参与者数量不超过3名，或吸引力宽度至少为总空间一半时，纯纳什均衡存在。
• 通过参与者宽度比值，利用最大与最小支持效用的比值推导公平性界。
• 通过最优与均衡总支持效用的比较，建立无效率价格的下界为1/2。
• 通过参与者密度和宽度比值界定未覆盖支持范围，表明其至多为1/(1 + ∑w_i)。
• 应用数学不等式和上取整函数，推导出在最坏配置下的紧致理论界。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有任意客户分布的有限吸引力Hotelling-Downs模型中，纯纳什均衡存在的条件是什么？
• RQ2 在支持效用设定下，均衡的公平性如何依赖于参与者宽度的比值？
• RQ3 支持效用模型中无效率价格的最紧可能下界是什么？
• RQ4 系统中未被覆盖的支持范围是否可被界定？若是，最紧的此类界是什么？
• RQ5 胜者效用模型是否表现出低效性？其在效率和公平性方面与支持效用模型相比如何？

主要发现

• 由于支持效用博弈是潜在博弈，即使在任意客户分布下，纯纳什均衡也始终存在。
• 在胜者效用设定下，当参与者数量不超过3名，或每个参与者的吸引力宽度至少为总空间的一半时，纯纳什均衡存在。
• 在支持效用模型中，均衡的公平性下界为1/(2⌈w_M / w_m⌉)，其中w_M和w_m分别为最大和最小参与者宽度。
• 支持效用模型中的无效率价格至少为1/2，且该界是紧致的，通过构造表明当n → ∞时PoA趋近于1/2。
• 未被覆盖的支持范围（即未被任何参与者吸引的客户）至多为1/(1 + ∑w_i)，为低效性提供了紧致上界。
• 公平性和无效率价格的理论界是紧致的，通过显式示例证明其可被达到。