[论文解读] How far can the generalized second law be generalized?

P. C. W. Davies, T. M. Davis|arXiv (Cornell University)|Oct 18, 2003

Cosmology and Gravitation Theories被引用 4

一句话总结

本文研究了在具有正宇宙学常数的弗里德曼-勒梅特-罗伯逊-沃尔克（FRW）宇宙中，将热力学广义第二定律（GSL）扩展至宇宙事件视界时的有效性。通过分析与数值方法，证明了总熵（包括黑洞与宇宙视界熵）随时间单调增加，确认了GSL在动态、膨胀的宇宙中依然成立，前提是黑洞始终小于宇宙视界。

ABSTRACT

Jacob Bekenstein's identification of black hole event horizon area with entropy proved to be a landmark in theoretical physics. In this paper we trace the subsequent development of the resulting generalized second law of thermodynamics (GSL), especially its extension to incorporate cosmological event horizons. In spite of the fact that cosmological horizons do not generally have well-defined thermal properties, we find that the GSL is satisfied for a wide range of models. We explore in particular the case of an asymptotically de Sitter universe filled with a gas of small black holes as a means of casting light on the relative entropic 'worth' of black hole versus cosmological horizon area. We present some numerical solutions of the generalized total entropy as a function of time for certain cosmological models, in all cases confirming the validity of the GSL.

研究动机与目标

• 将热力学广义第二定律（GSL）从黑洞事件视界扩展至具有正宇宙学常数的膨胀FRW宇宙中的宇宙事件视界。
• 研究在正宇宙学常数模型中，总熵（定义为黑洞与宇宙视界熵之和）是否随时间保持非递减。
• 评估在渐近德西特宇宙中，黑洞与宇宙视界之间的熵贡献相对大小。
• 提供数值与分析证据，支持在非静态、动态宇宙时空中的GSL。
• 调和GSL与暗能量主导宇宙中黑洞蒸发与视界演化动力学之间的关系。

提出的方法

• 使用面积定律推导宇宙视界熵的变化率：$ \dot{S}_{\rm c} = \dot{A}_{\rm c}/4 $，其中$ A_{\rm c} $为宇宙事件视界的面积。
• 通过能量密度$ \rho_{\rm bh} $与数密度$ n_{\rm bh} $建模黑洞熵的演化，假设在共动参考系中存在小黑洞气体。
• 应用弗里德曼方程（式11与式12）描述在$ \Omega_M = 0.3 $，$ \Omega_\Lambda = 0.7 $或$ 1.4 $的FRW模型中尺度因子与哈勃参数的时间演化。
• 计算总黑洞面积为$ A_{\rm bh}^{\rm total} = 64\pi^2 M_{\rm bh} \rho_{\rm bh} / (3H^3) $，并计算其时间导数以评估熵损失。
• 施加GSL条件$ \dot{A}_{\rm bh}^{\rm total} + \dot{A}_{\rm c} \geq 0 $，导出不等式$ M_{\rm bh} \lesssim 1/H $，即$ r_{\rm bh} \lesssim r_{\rm c} $。
• 对特定宇宙学模型进行熵随时间演化的数值模拟，包括$ \Omega_\Lambda = 1.4 $的闭合宇宙，以验证总熵的单调增加。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有正宇宙学常数的膨胀FRW宇宙中，广义第二定律（GSL）是否适用于宇宙事件视界？
• RQ2 在何种条件下，总熵（黑洞与宇宙视界熵之和）随时间保持非递减？
• RQ3 在类德西特宇宙中，小黑洞的熵贡献与宇宙视界的熵贡献相比如何？
• RQ4 GSL是否能在非静态时空（如经历加速膨胀的时空）中动态满足？
• RQ5 GSL对黑洞相对于宇宙视界的尺寸施加了何种约束？

主要发现

• 在所研究的FRW模型中，广义第二定律（GSL）在所有时刻均成立，包括与德西特空间显著偏离的模型，因为总熵随宇宙时间单调增加。
• 对$ \Omega_M = 0.3 $，$ \Omega_\Lambda = 0.7 $的辐射主导FRW宇宙的数值解表明，宇宙视界熵的增加超过了穿越视界辐射熵的损失，从而保持了GSL。
• 对于$ \Omega_\Lambda = 1.4 $的闭合宇宙，宇宙事件视界在有限时间内形成，且自其出现起总熵即单调增加。
• 推导出解析条件$ M_{\rm bh} \lesssim 1/H $（或$ r_{\rm bh} \lesssim r_{\rm c} $）作为GSL成立的充分条件，表明小黑洞不会违反该定律。
• 即使黑洞蒸发并损失面积，只要其尺寸保持小于宇宙视界，GSL依然有效，因为视界面积的增加可补偿熵的损失。
• 结果支持并说明了渐近德西特时空下视界面积非减小的更广泛定理，证实GSL不仅在渐近意义上成立，且在所研究模型的整个动态演化过程中始终有效。