[论文解读] How Far Should the Principle of Relativity Go ?

Elemér E Rosinger|ArXiv.org|Oct 1, 2007

Mathematical and Theoretical Analysis被引用 16

一句话总结

本文提出将相对性原理的适用范围从参考系协变性扩展至更广泛的非阿基米德代数标量结构——如约化幂代数——而非将物理限制在实数或复数上。通过用更一般的代数替代域，该框架能够更深刻、更广泛地表述物理定律，自然处理无穷大与发散，为解决理论物理中长期存在的无穷大问题提供了新路径。

ABSTRACT

The Principle of Relativity has so far been understood as the {\it covariance} of laws of Physics with respect to a general class of reference frame transformations. That relativity, however, has only been expressed with the help of {\it one single} type of mathematical entities, namely, the scalars given by the usual continuum of the field $\mathbb{R}$ of real numbers, or by the usual mathematical structures built upon $\mathbb{R}$, such as the scalars given by the complex numbers $\mathbb{C}$, or the vectors in finite dimensional Euclidean spaces $\mathbb{R}^n$, infinite dimensional Hilbert spaces, etc. This paper argues for {\it progressing deeper and wider} in furthering the Principle of Relativity, not by mere covariance with respect to reference frames, but by studying the possible covariance with respect to a {\it large variety} of algebras of scalars which extend significantly $\mathbb{R}$ or $\mathbb{C}$, variety of scalars in terms of which various theories of Physics can equally well be formulated. First directions in this regard can be found naturally in the simple Mathematics of Special Relativity, the Bell Inequalities in Quantum Mechanics, or in the considerable amount of elementary Mathematics in finite dimensional vector spaces which occurs in Quantum Computation. The large classes of algebras of scalars suggested, which contain $\mathbb{R}$ and $\mathbb{C}$ as particular cases, have the important feature of typically {\it no longer} being Archimedean, see Appendix, a feature which can prove to be valuable when dealing with the so called "infinities" in Physics. The paper has a Comment on the so called "end of time".

研究动机与目标

• 挑战物理理论必须仅使用实数或复数标量的假设，这些标量具有阿基米德性，无法区分无穷大数量。
• 论证理论物理受限于对阿基米德结构的未加审视的依赖，导致量子场论与广义相对论中持续出现无穷大问题。
• 提出相对性原理应从参考系变换下的协变性，推广为标量代数结构变化下的协变性。
• 证明非阿基米德代数——如矩阵代数与约化幂代数——可作为传统标量域的可行、数学丰富且物理意义明确的替代方案。
• 表明放弃由庞特里亚金定理所限制的域结构要求，可使物理理论进入一个更庞大、非阿基米德且更适合处理物理中无穷大的代数类。

提出的方法

• 利用实数或复数序列构造约化幂代数，通过超滤子商化，形成包含 R 和 C 作为子结构的非阿基米德代数。
• 应用比域更宽松的代数结构概念——允许非可逆元素——从而使得矩阵代数可作为可行的标量系统使用。
• 在序列空间如 R^N 上引入偏序 ≼，以定义非阿基米德行为，其中对所有 n ∈ N 有 nx ≼ y，即使 x ≠ 0。
• 证明标准数学结构如 R^n 配以字典序，或 R^N 配以坐标序，均不满足阿基米德性质（ARCH），因此属于非阿基米德结构。
• 运用庞特里亚金定理论证：仅 R、C 和 H 是非离散域，而 H 同样具有阿基米德性，因此在域框架下无法超越 R 和 C，数学上不可能。
• 提出物理理论可在这些非阿基米德代数中重新表述，保留物理内容的同时，实现对无穷大与发散更精细的处理。

实验结果

研究问题

• RQ1 相对性原理能否超越参考系变换下的协变性，扩展至物理理论中所用标量代数结构变化下的协变性？
• RQ2 为何标准物理理论持续遭遇无穷大？这是否可归因于使用了如 R 和 C 这类阿基米德标量域？
• RQ3 是否存在可行的数学替代方案，使 R 和 C 非阿基米德化，同时仍足够丰富以支持物理定律的表述？
• RQ4 在物理理论中放弃域结构而改用更一般代数的数学与物理意义为何？
• RQ5 非阿基米德代数（如约化幂代数）能否为量子力学、相对论与量子场论的重新表述提供一致且有用的框架？

主要发现

• 非阿基米德代数类（如约化幂代数与矩阵代数）远大于阿基米德域类，使后者在数学空间中几乎可忽略不计。
• 阶数 n ≥ 2 的矩阵代数不是域（因存在不可逆元素），但它们是支持加法、减法、乘法及除法（零行列式元除外）的代数，因此适合用于物理表述。
• 在 R^N 等无穷维空间中，标准偏序下阿基米德性质（ARCH）不成立；甚至在 R^2 配以字典序的有限维空间中亦然，证明阿基米德结构极为稀少。
• 在 R^N 上使用偏序 ≼ 可构造序列 x 与 y，使得对所有 n ∈ N 有 nx ≼ y 且 x ≠ 0，违反 (ARCH+)，从而证明其非阿基米德行为。
• 庞特里亚金定理表明：任何非离散域必为 R、C 或 H——三者均非非阿基米德——因此非阿基米德结构不可能是域，必须转向代数。
• 本文结论认为，将物理限制在 R 和 C 等阿基米德域并非自然或必要选择，而是一种人为的限制，限制了理论物理的范围，并导致无穷大问题持续存在。