[论文解读] How geometry determines the coalescence of low-viscosity drops

Antonin Eddi, Koen G. Winkels+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 29, 2013

Electrohydrodynamics and Fluid Dynamics被引用 3

一句话总结

本研究揭示，低粘度液滴在基底上的聚并动力学受接触处几何约束的支配，当接触角 $ \theta < 90^\circ $ 时，液滴高度满足 $ h \sim t^{2/3} $，而在 $ \theta = 90^\circ $ 时则变为 $ h \sim t^{1/2} $。一个几何模型通过统一的无调整参数标度律，捕捉了曲率依赖的桥接生长，从而统一了附着液滴与自由悬浮液滴的惯性聚并行为。

ABSTRACT

The coalescence of water drops on a substrate is studied experimentally. We focus on the rapid growth of the bridge connecting the two drops, which very quickly after contact ensues from a balance of surface tension and liquid inertia. For drops with contact angles below $90^\circ$, we find that the bridge grows with a self-similar dynamics that is characterized by a height $h\sim t^{2/3}$. By contrast, the geometry of coalescence changes dramatically for contact angles at $90^\circ$, for which we observe $h\sim t^{1/2}$, just as for freely suspended spherical drops in the inertial regime. We present a geometric model that quantitatively captures the transition from 2/3 to 1/2 exponent, and unifies the inertial coalescence of sessile drops and freely suspended drops.

研究动机与目标

• 理解基底几何与接触角如何影响低粘度液滴的惯性聚并动力学。
• 解决实验中观测到的 $ t^{2/3} $ 标度与自由悬浮液滴经典 $ t^{1/2} $ 定律之间的差异。
• 开发一个几何模型，通过考虑接触处的曲率，统一描述附着液滴与自由悬浮液滴的惯性聚并行为。
• 量化接触角趋近 $ 90^\circ $ 时标度指数的转变，此时动力学从楔形行为转变为球形行为。

提出的方法

• 在接触角从 $ 73^\circ $ 到 $ 90^\circ $ 的涂层玻璃基底上，使用超纯水液滴进行实验，通过缓慢针头接近以最小化动态效应。
• 以微秒级分辨率的高速成像，捕捉聚并后初始阶段桥接生长的动力学。
• 采用圆锥形液滴以增强几何清晰度，并扩展可观测自相似标度的范围。
• 基于相交圆构建几何模型，描述弯月面宽度 $ w $ 作为高度 $ h_0 $、接触角 $ \theta $ 和液滴半径 $ R $ 的函数，推导出统一的标度律。
• 应用相似性假设并重新标定水平坐标，以检验不同几何条件下数据的收敛性。
• 理论推导桥接动力学方程：$ \frac{D_0^3 \gamma t^2}{\rho} = h_0^2 R \left[ \sin\theta - \sqrt{1 - \left( \frac{h_0}{R} + \cos\theta \right)^2 } \right] $，其中 $ D_0 = 0.89 $ 由先前校准固定。

实验结果

研究问题

• RQ1 聚并时的接触角如何影响低粘度液滴在基底上桥接高度增长的标度指数？
• RQ2 为何聚并动力学在 $ \theta = 90^\circ $ 时从 $ t^{2/3} $ 转变为 $ t^{1/2} $ 标度？其背后的几何机制是什么？
• RQ3 能否通过捕捉接触处界面曲率的单一几何模型，统一描述附着液滴与自由悬浮液滴的惯性聚并行为？
• RQ4 初始几何——特别是接触时液桥的形状——在决定早期聚并过程中主导力（毛细力与惯性力）方面起什么作用？
• RQ5 随着 $ \theta \to 90^\circ $，$ t^{2/3} $ 区域的范围如何缩小？$ t^{1/2} $ 标度的起始条件由什么决定？

主要发现

• 当接触角低于 $ 90^\circ $ 时，桥接高度以 $ h_0 \sim t^{2/3} $ 的方式增长，与楔形几何及惯性主导一致。
• 在 $ \theta = 90^\circ $ 时，标度转变为 $ h_0 \sim t^{1/2} $，与自由悬浮球形液滴的行为一致。
• 该转变并非突变，而是源于几何交叉：弯月面宽度 $ w $ 从 $ w \sim h_0 $（当 $ \theta < 90^\circ $ 时）演变为 $ w \sim h_0^2 / R $（当 $ \theta = 90^\circ $ 时），从而改变压力平衡。
• 所提出的基于相交圆的几何模型，无需调整参数即可定量捕捉 $ \theta $-依赖的标度行为，且使用了由先前校准确定的 $ D_0 = 0.89 $。
• $ t^{2/3} $ 区域随 $ \theta \to 90^\circ $ 而消失，其渐近范围缩小为 $ h_0 / R \ll \pi/2 - \theta $，解释了标度的突然转变。
• 对于 $ \theta = 90^\circ $ 的实验数据，其在与自由悬浮液滴相同的标度下实现收敛，证实了在惯性区域内 $ t^{1/2} $ 定律的普适性。