[论文解读] How hard is it to approximate the Jones polynomial?

Greg Kuperberg|arXiv (Cornell University)|Aug 4, 2009

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 24被引用 67

一句话总结

本文证明了在非格点单位根处近似琼斯多项式对于任何值区分型近似都是 #P-难的，即使仅需区分 |V(L,t)| 小于 a 还是大于 b（其中固定 0 < a < b）。该结果结合了量子计算通用性、Aaronson 的 PostBQP = PP 定理以及 Solovay-Kitaev 定理，表明此类近似捕获了 #P 的全部计算能力，这意味着除非 #P ⊆ FP，否则高效的经典近似方法极不可能存在。

ABSTRACT

Freedman, Kitaev, and Wang [arXiv:quant-ph/0001071], and later Aharonov, Jones, and Landau [arXiv:quant-ph/0511096], established a quantum algorithm to "additively" approximate the Jones polynomial V(L,t) at any principal root of unity t. The strength of this additive approximation depends exponentially on the bridge number of the link presentation. Freedman, Larsen, and Wang [arXiv:math/0103200] established that the approximation is universal for quantum computation at a non-lattice, principal root of unity; and Aharonov and Arad [arXiv:quant-ph/0605181] established a uniform version of this result. In this article, we show that any value-dependent approximation of the Jones polynomial at these non-lattice roots of unity is #P-hard. If given the power to decide whether |V(L,t)| &gt; a or |V(L,t)| &lt; b for fixed constants a &gt; b &gt; 0, there is a polynomial-time algorithm to exactly count the solutions to arbitrary combinatorial equations. In our argument, the result follows fairly directly from the universality result and Aaronson's theorem that PostBQP = PP [arXiv:quant-ph/0412187].

研究动机与目标

• 建立在非格点单位根处近似琼斯多项式的计算困难性。
• 证明在这些单位根处对琼斯多项式的任何值区分型近似都是 #P-难的。
• 在量子计算与链 invariant 的背景下，澄清并推广 Aaronson 的 PostBQP = PP 定理和 Solovay-Kitaev 定理。
• 将困难性结果扩展到平面上图上图 Tutte 多项式的特定取值。
• 研究用于计算琼斯多项式的 Morse 型算法的最优性。

提出的方法

• 利用 Freedman、Larsen 和 Wang 已建立的非格点单位根处琼斯多项式的量子计算通用性。
• 应用 Aaronson 的定理（PostBQP = PP）将量子决策问题与计数复杂性联系起来。
• 运用 Solovay-Kitaev 定理，以非格点单位根处的有限门集模拟任意量子门。
• 将一个 #P-完全问题归约到区分 |V(L,t)| < a 与 |V(L,t)| > b 的决策问题（其中固定 0 < a < b）。
• 构建一个量子线路，通过在非格点单位根处对琼斯多项式进行评估，来模拟一个 #P-难问题。
• 通过已知的从 Tutte 多项式到琼斯多项式的归约，将论证扩展至 Tutte 多项式。

实验结果

研究问题

• RQ1 在非格点单位根处近似琼斯多项式是否具有计算困难性？
• RQ2 在非格点单位根处对琼斯多项式的值区分型近似是否可在多项式时间内求解？
• RQ3 琼斯多项式的通用性与其计算复杂性之间存在何种关系？
• RQ4 图 Tutte 多项式 T(G,x,y) 的特定取值是否难以近似？
• RQ5 能否证明 Morse 算法在计算或估计琼斯多项式时是本质最优的？

主要发现

• 在非格点单位根处对琼斯多项式的任何值区分型近似，在 Cook-Turing 归约下均为 #P-难。
• 即使将链限制为纽结（而非一般链），该困难性依然成立。
• 该结果适用于 |V(L,t)| 的大小，而不仅限于复数值，并且对常数因子近似具有鲁棒性。
• 困难性可扩展至平面上图上图 Tutte 多项式 T(G,x,y) 的特定取值，这些取值在任意常数因子 c > 1 内近似均为 #P-难。
• 证明技术统一了量子计算通用性、Aaronson 的 PostBQP = PP 结果以及 Solovay-Kitaev 定理。
• 研究结果表明，对于非格点单位根，琼斯多项式的 Morse 算法可能本质上是最优的，因为其时间复杂度在桥数上呈指数级增长。