[论文解读] How Hard Is It to Satisfy (Almost) All Roommates?

Jiehua Chen, Danny Hermelin+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 13, 2017

Game Theory and Voting Systems参考文献 43被引用 5

一句话总结

本文研究了稳定室友问题的两个优化变体：等价稳定室友问题（Egalitarian Stable Roommates），其目标是最小化参与者不满意度之和（等价成本 γ）；以及最小阻塞对稳定室友问题（Min-Block-Pair Stable Roommates），其目标是最小化阻塞对的数量 β。研究证明，当以等价成本 γ 为参数时，等价稳定室友问题是固定参数可追踪的（FPT），而即使偏好列表长度至多为五，最小阻塞对稳定室友问题也是 W[1]-难的，揭示了这两个变体之间根本性的复杂性二分差异。

ABSTRACT

The classic Stable Roommates problem (the non-bipartite generalization of the well-known Stable Marriage problem) asks whether there is a stable matching for a given set of agents, i.e. a partitioning of the agents into disjoint pairs such that no two agents induce a blocking pair. Herein, each agent has a preference list denoting who it prefers to have as a partner, and two agents are blocking if they prefer to be with each other rather than with their assigned partners. Since stable matchings may not be unique, we study an NP-hard optimization variant of Stable Roommates, called Egal Stable Roommates, which seeks to find a stable matching with a minimum egalitarian cost gamma, i.e. the sum of the dissatisfaction of the agents is minimum. The dissatisfaction of an agent is the number of agents that this agent prefers over its partner if it is matched; otherwise it is the length of its preference list. We also study almost stable matchings, called Min-Block-Pair Stable Roommates, which seeks to find a matching with a minimum number beta of blocking pairs. Our main result is that Egal Stable Roommates parameterized by gamma is fixed-parameter tractable, while Min-Block-Pair Stable Roommates parameterized by beta is W[1]-hard, even if the length of each preference list is at most five.

研究动机与目标

• 研究等价稳定室友问题的参数化复杂性，该问题是稳定室友问题的一个优化变体，旨在最小化参与者不满意度之和。
• 探究当不存在稳定匹配时，最小阻塞对稳定室友问题的复杂性，该问题旨在寻找阻塞对数量最少的匹配。
• 厘清这两个优化变体的参数化可追踪性边界，特别是当偏好列表长度受限时。
• 通过提供紧致的难解性结果和算法，解决相关问题（如最小阻塞参与者稳定室友问题）的开放问题。

提出的方法

• 提出一种以等价成本 γ 为参数的固定参数可追踪（FPT）算法，通过内核化将实例规模缩减至 O(γ²)。
• 通过从多色独立集问题的归约，证明最小阻塞对稳定室友问题以 β 为参数时是 W[1]-难的，即使偏好列表长度至多为五。
• 在归约中设计了专门的顶点选择与验证部件，以在稳定室友设定中模拟独立集解。
• 为最小阻塞参与者稳定室友问题设计了一种基于猜测的算法，枚举可能的阻塞参与者，并通过 Abraham 等 [6] 的子程序验证候选阻塞对。
• 利用指数时间假设（ETH）论证，除非 ETH 失效，否则最小阻塞对稳定室友问题不存在 f(β)·no(β)-时间算法。
• 利用偏好列表和阻塞对定义的结构特性，确保归约与难解性证明的正确性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当以等价成本 γ 为参数时，等价稳定室友问题是否为固定参数可追踪的？
• RQ2 当以阻塞对数量 β 为参数时，即使偏好列表长度受限，最小阻塞对稳定室友问题是否为 W[1]-难的？
• RQ3 等价稳定室友问题的参数化复杂性是否可推广至偏好列表中存在并列的情况？
• RQ4 求解等价稳定室友问题的最优时间复杂度下限是什么？当前的 FPT 算法是否最优？
• RQ5 最小阻塞参与者变体的稳定室友问题是否具有多项式内核，或同样为 W[1]-难？

主要发现

• 当以等价成本 γ 为参数时，等价稳定室友问题是固定参数可追踪的，其内核规模为 O(γ²)。
• 当以 β 为参数时，即使每个偏好列表长度至多为五，最小阻塞对稳定室友问题也是 W[1]-难的。
• 最小阻塞对稳定室友问题的 W[1]-难性结果是紧致的，因为下界与目前已知的最佳近似和参数化复杂度界一致。
• 从多色独立集问题到最小阻塞对稳定室友问题的归约表明，Abraham 等 [6, 引理 4] 给出的 β 的下界是紧致的。
• 最小阻塞参与者稳定室友问题是 NP-难的，且以阻塞参与者数量 η 为参数时也是 W[1]-难的，即使偏好列表长度至多为五。
• 存在一种时间复杂度为 O(2η² · nη+2) 的多项式时间算法求解最小阻塞参与者稳定室友问题，该算法基于猜测阻塞参与者与阻塞对，并通过 Abraham 等 [6] 的子程序进行验证。