[论文解读] How is spontaneous symmetry breaking possible?
本文解决了量子场论中的一个基础性悖论：尽管维格纳定理要求所有对称性必须由幺正算符实现，但在无限系统中，自发对称性自发破缺（SSB）却要求对称性不能由幺正算符实现。作者表明，一个幺正算符可以通过改变向量与态之间的对应关系，连接原本幺正不等价的表示，从而在不需表示之间幺正等价的前提下保持物理等价性。
We pose and resolve a seeming paradox about spontaneous symmetry breaking in the quantum theory of infinite systems. For a symmetry to be spontaneously broken, it must not be implementable by a unitary operator. But Wigner's theorem guarantees that every symmetry is implemented by a unitary operator that preserves transition probabilities between pure states. We show how it is possible for a unitary operator of this sort to connect the folia of unitarily inequivalent representations. This result undermines interpretations of quantum theory that hold unitary equivalence to be necessary for physical equivalence.
研究动机与目标
- 解决维格纳定理（要求所有对称性必须由幺正算符实现）与无限量子系统中自发破缺对称性不可幺正实现之间的明显矛盾。
- 阐明对称性在态上的幺正实现与希尔伯特空间表示之间的幺正等价性之间的区别。
- 证明幺正算符可在幺正不等价表示的叶集上作为对称性作用，而无需表示本身彼此幺正等价。
- 挑战在代数量子场论中将物理等价性等同于表示之间幺正等价性的解释。
- 阐明GNS构造及态-向量对应关系在理解不同表示之间对称性作用中的作用。
提出的方法
- 采用量子理论的代数方法，通过C*-代数及其在希尔伯特空间上的表示来建模量子系统。
- 应用GNS构造，将每个态与希尔伯特空间表示中唯一的循环向量一一对应，确保态与向量之间的一一对应关系。
- 引入Wigner幺正算符W，其作用是保持纯态之间跃迁概率不变，符合Wigner定理的要求。
- 区分作用于固定表示中向量的Wigner幺正算符W，与通过幺正等价关系连接不同表示的联络幺正算符V。
- 分析对称变换α如何通过重新定义向量与可观测量之间的对应关系来作用于态，使用关系式(π′)* = α′∘π*。
- 证明当对称性通过α⁻¹重标记可观测量实现时，恒等映射可作为Wigner幺正算符W，即使表示之间是幺正不等价的。
实验结果
研究问题
- RQ1如何在Wigner定理意义下实现对称性的幺正性，同时在无限量子系统中仍实现自发破缺？
- RQ2对称性在态上的幺正实现与它所连接的希尔伯特空间表示之间的幺正等价性之间有何关系？
- RQ3在何种意义上，幺正算符可作为幺正不等价表示之间的对称性作用，而无需表示彼此等价？
- RQ4为何自发破缺对称性不可幺正实现的标准要求不与Wigner定理矛盾？
- RQ5GNS构造中的态-向量对应关系如何影响对不同表示之间对称性的理解？
主要发现
- 即使对称性连接的是幺正不等价表示，它仍可在Wigner定理的意义下实现为幺正对称性，因为幺正算符作用于态-向量的对应关系，而非表示本身。
- Wigner幺正算符W无须是表示之间的联络算符；相反，它通过重新定义不同表示中哪些向量代表哪些态来保持跃迁概率。
- 对称性在态层面上的幺正实现，并不意味着表示之间的幺正等价，从而消解了自发对称性破缺中的明显悖论。
- 当对称性通过α⁻¹重标记可观测量实现时，恒等映射可作为Wigner幺正算符W，表明即使表示不等价，物理等价性仍可保持。
- Wigner幺正算符与联络幺正算符之间的区分表明，物理等价性并不等同于表示之间的幺正等价性。
- 本文确立了对称性α可通过W实现对表示π的叶集的作用，将ω映射为ω∘α⁻¹，即使π与π∘α⁻¹是幺正不等价的，该作用仍可通过W幺正实现。
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