[论文解读] How Many Directions Determine a Shape and other Sufficiency Results for Two Topological Transforms

Justin Curry, Sayan Mukherjee+1 more|arXiv (Cornell University)|May 24, 2018

Topological and Geometric Data Analysis被引用 6

一句话总结

本文证明了欧拉特征变换（ECT）和持久同调变换（PHT）通过有限次方向扫描即可唯一确定$ \mathbb{R}^d$ 中的紧致可构造形状。通过利用Schapira的反演定理以及对方向球面的分层分析，本文证明了两种变换的单射性，并表明即使在几何约束下，也能从有限个欧拉曲线或持久性图中重构形状。

ABSTRACT

In this paper we consider two topological transforms that are popular in applied topology: the Persistent Homology Transform (PHT) and the Euler Characteristic Transform (ECT). Both of these transforms are of interest for their mathematical properties as well as their applications to science and engineering, because they provide a way of summarizing shapes in a topological, yet quantitative, way. Both transforms take a shape, viewed as a tame subset $M$ of $\mathbb{R}^d$, and associates to each direction $v\in S^{d-1}$ a shape summary obtained by scanning $M$ in the direction $v$. These shape summaries are either persistence diagrams or piecewise constant integer-valued functions called Euler curves. By using an inversion theorem of Schapira, we show that both transforms are injective on the space of shapes, i.e.~each shape has a unique transform. Moreover, we prove that these transforms determine continuous maps from the sphere to the space of persistence diagrams, equipped with any Wasserstein $p$-distance, or the space of Euler curves, equipped with certain $L^p$ norms. By making use of a stratified space structure on the sphere, induced by hyperplane divisions, we prove additional uniqueness results in terms of distributions on the space of Euler curves. Finally, our main result proves that any shape in a certain uncountable space of PL embedded shapes with plausible geometric bounds can be uniquely determined using only finitely many directions.

研究动机与目标

• 建立欧拉特征变换（ECT）与持久同调变换（PHT）在$ \mathbb{R}^d$ 中紧致可构造子集上的单射性。
• 确定仅使用ECT或PHT重构形状所需的最少方向数。
• 在方向球面上建立分层框架，以分析拓扑变换的变化。
• 将理论结果扩展至具有几何约束的不可数个分段线性（PL）嵌入形状族。
• 探讨在有限方向样本下，以可控误差界实现形状重构的可行性。

提出的方法

• 应用Schapira关于可构造层的反演定理，证明ECT与PHT在o-极小集上的单射性。
• 利用PL形状边的垂面诱导的$S^{d-1}$分层，分析方向变化。
• 将ECT表示为分段常数函数，PHT表示为持久性图，二者在各分层内连续变化。
• 采用欧拉曲线的$L^p$范数与持久性图的Wasserstein $p$-距离定义拓扑度量。
• 通过将顶维分层数量界定为$O\left(\frac{d^{d+1}k_{\delta}^{2d}}{\delta^{2d(d-1)}}\right)$，推导出有限性结果，其依赖于几何参数。
• 基于每一分层一个曲线及顶点数据的插值技术，实现整个球面上ECT的重构。

实验结果

研究问题

• RQ1 仅使用有限个方向，ECT或PHT能否唯一确定$ \mathbb{R}^d$ 中的紧致可构造形状？
• RQ2 使用ECT或PHT重构形状所需的最少方向数是多少？
• RQ3 拓扑变换在方向球面的不同分层中如何变化？这一变化是否可用于插值？
• RQ4 当仅有有限方向样本时，能否利用ECT或PHT实现小误差范围内的形状重构？
• RQ5 对于更一般的形状类，如具有曲率约束的代数或光滑流形，这些变换的行为如何？

主要发现

• ECT与PHT在$ \mathbb{R}^d$ 中紧致可构造子集空间上是单射的，意味着每个形状具有唯一的变换。
• 这些变换从球面$S^{d-1}$连续映射到欧拉曲线空间（配备$L^p$范数）与持久性图空间（配备Wasserstein $p$-距离）。
• 在具有几何约束的某一不可数PL嵌入形状族中，仅使用有限个方向即可唯一确定任意形状。
• 分层球面分解中的顶维分层数量被限定为$O\left(\frac{d^{d+1}k_{\delta}^{2d}}{\delta^{2d(d-1)}}\right)$，从而控制所需方向样本的数量。
• 通过每一分层一个欧拉曲线及顶点集知识，可完全重构ECT，从而实现高效插值。
• 结果可通过o-极小结构推广至更广泛的形状类，并提示可进一步扩展至具有曲率约束的局部紧致或光滑代数集。