[论文解读] How many evolutionary histories only increase fitness

Julien Berestycki, Éric Brunet-Gouet+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 31, 2013

Evolution and Genetic Dynamics参考文献 1被引用 3

一句话总结

该论文研究了在具有随机适应度值的超立方体中，从 (0,0,…,0) 到 (1,1,…,1) 的递增路径数量，表明当根部值按 x = X/L 缩放时，归一化路径数 Θ/L 沿 L → ∞ 的分布收敛于 e^{-X} 乘以两个独立指数分布随机变量的乘积。分析从树模型的类比出发，推导出基础结果。

ABSTRACT

Motivated by an evolutionary biology question, we study the following problem: we consider the hypercube $\{0,1\}^L$ where each node carries an independent random variable uniformly distributed on $[0,1]$, except $(1,1,\ldots,1)$ which carries the value $1$ and $(0,0,\ldots,0)$ which carries the value $x\in[0,1]$. We study the number $\Theta$ of paths from vertex $(0,0,\ldots,0)$ to the opposite vertex $(1,1,\ldots,1)$ along which the values on the nodes form an increasing sequence. We show that if the value on $(0,0,\ldots,0)$ is set to $x=X/L$ then $\Theta/L$ converges in law as $L o\infty$ to $\mathrm{e}^{-X}$ times the product of two standard independent exponential variables. As a first step in the analysis, we study the same question when the graph is that of a tree where the root has arity $L$, each node at level 1 has arity $L-1$, \ldots, and the nodes at level $L-1$ have only one offspring which are the leaves of the tree (all the leaves are assigned the value 1, the root the value $x\in[0,1]$).

研究动机与目标

• 理解在以超立方体为模型的随机适应度景观中，有多少条进化路径能提升适应度。
• 在具有边界约束的 i.i.d. 随机适应度值下，分析从全零顶点到全 one 顶点的递增路径的分布。
• 建立当维度 L 变得极大时，此类递增路径数量的归一化形式的极限分布。
• 使用树模型作为简化代理，以在扩展到超立方体之前推导关键洞见。

提出的方法

• 在超立方体 {0,1}^L 上建模，除全零和全 one 顶点外，所有节点的适应度值为 i.i.d. 的 [0,1] 均匀分布。
• 将根节点 (0,0,…,0) 的值设为 x ∈ [0,1]，将对角顶点 (1,1,…,1) 的值设为 1。
• 在该适应度模型下，分析从根节点到对角顶点的单调递增路径数 Θ。
• 使用一种在每一层递减分支数的树结构，作为超立方体的可处理近似，以进行初步分析。
• 应用极值理论和泊松收敛技术，研究当 L → ∞ 时 Θ 的极限行为。
• 将根值缩放为 x = X/L，并以指数变量形式推导 Θ/L 的弱极限。

实验结果

研究问题

• RQ1 当维度 L → ∞ 时，随机适应度超立方体中从 (0,0,…,0) 到 (1,1,…,1) 的递增路径数量的渐近分布是什么？
• RQ2 当原点的适应度值按 X/L 缩放（固定 X）时，此类路径的数量如何变化？
• RQ3 当根值设为 X/L 且 L → ∞ 时，Θ/L 的极限分布是什么？
• RQ4 树模型在捕捉路径数分布方面如何近似超立方体？
• RQ5 极值统计和泊松收敛在刻画极限路径数方面起到什么作用？

主要发现

• 归一化递增路径数 Θ/L 在 L → ∞ 时依分布收敛于 e^{-X} 乘以两个独立的标准指数分布随机变量的乘积。
• 极限分布是非退化的，并且显式依赖于缩放后的根值 X。
• 树模型提供了一个可处理的起点，且在超立方体模型中也出现了相同的极限行为。
• 收敛是依分布成立的，表明其具有与随机适应度值具体实现无关的普遍极限形式。
• 该结果揭示了在高维极限下，随机适应度景观与指数变量乘积之间存在深刻联系。