[论文解读] How Much Work Does It Take To Straighten a Plane Graph Out?

Mihyun Kang, Mathias Schacht+1 more|ArXiv.org|Jul 23, 2007

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 10被引用 3

一句话总结

本文证明，在最坏情况下，将平面图转换为直线绘图需要移动几乎所有顶点，从而确立了必须移动的顶点最小数量 s(n) 满足 s(n) = n(1 - o(1))。该结果通过构造一个 3-连通平面图实现，其顶点被排列在圆周上形成嵌套的、不重叠的三角剖分子图簇，证明在任何直线嵌入中，由于不相交三角形区域的几何约束，仅有 O(n) 个顶点可保持固定。

ABSTRACT

We prove that if one wants to make a plane graph drawing straight-line then in the worst case one has to move almost all vertices.

研究动机与目标

• 确定将任意平面图转换为直线绘图时，必须移动的最少顶点数量。
• 为平面图在最坏情况下的移动顶点数量建立下界。
• 分析限制平面图直线嵌入中固定顶点数量的结构约束。
• 构造显式的 3-连通平面图族，其中几乎全部顶点必须重新定位以实现无交叉的直线绘图。
• 将该问题与“平面化游戏”联系起来，表明在最坏情况的游戏实例中，最优玩法需要移动几乎所有顶点。

提出的方法

• 构造一个具有 n = k(s + k) 个顶点的图 G，划分为 s + k 个互不相交的集合 V_i，每个集合大小为 k。
• 将 G 嵌入使得每个 V_i 诱导出一个极大平面（三角剖分）子图，且这些子图被放置在互不相交的外部面中。
• 通过在相邻 V_i 之间添加跨簇边，并添加一条闭合环的边，确保全局 3-连通性。
• 定义一种“坏”的圆形绘图，其中所有 V_i 位于正 k 边形的顶点上，导致边交叉。
• 通过将 G 的任何无交叉直线绘图 G' 中的每个 V'_i 关联到 G'[V'_i] 的凸包中的一个三角形面 T_i，分析该绘图。
• 利用 T_i（可能除一个外）的几何不相交性，以及圆形标签序列中不存在交替 4 元组 (xyxy) 的事实，对固定顶点数量进行限制。

实验结果

研究问题

• RQ1 将平面图转换为直线绘图时，最坏情况下必须移动的顶点数量是多少？
• RQ2 此类变换中固定顶点的数量能否被 n 的子线性函数从下方界定？
• RQ3 顶点簇的几何排列如何影响可保持固定的顶点最大数量？
• RQ4 3-连通性与平面性约束在多大程度上限制了直线嵌入中固定顶点的数量？
• RQ5 该问题与平面化游戏有何关联？在最坏情况的游戏实例中，最少需要多少步移动？

主要发现

• 本文确立了 s(n) = n(1 - o(1))，意味着在最坏情况下，几乎全部顶点都必须被移动才能实现直线绘图。
• 推导出一个显式下界：s(n) ≥ n - 2√n - 1，表明至少需要移动这么多顶点。
• 该构造确保在直线嵌入中，至多 k - 1 个顶点集合 V_i 可以有两个或更多顶点保持位置不变，这是由于成对不相交的三角形区域所致。
• 对于顶点处于弱凸位置的图，该界是紧的，因为当顶点被放置在任意给定的 n 个点的此类位置时，该结果依然成立。
• 分析表明，在最坏情况下，仅有 O(k) = O(√n) 个顶点可被固定，证实了子线性大小的固定集合是不可避免的。
• 该结果改进了针对特定图类（如扇形图和星形森林）的先前界，其中 fix(G) ≤ 3√n - 3，并推广至一般 3-连通平面图。