[论文解读] How noise determines the statistics of simple path dependent systems

Bernat Corominas‐Murtra, Rudolf Hanel+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 30, 2017

Statistical Mechanics and Entropy被引用 1

一句话总结

本文提出，样本空间缩减（SSR）过程为理解驱动的非平衡系统稳态统计提供了一个统一框架。通过将驱动过程建模为与状态相关或恒定的速率，该框架推导出精确的幂律、指数分布、正态分布及其他分布，为复杂系统中普遍存在的重尾和尺度不变统计特性的出现提供了机制性解释。

ABSTRACT

Sample space reducing (SSR) processes offer a simple analytical way to understand of the origin and ubiquity of power-laws in many path-dependent complex systems. SRR processes show a wide range of applications that range from fragmentation processes, language formation to cascading pro- cesses. Here we argue that they also offer a natural framework to understand stationary distributions of generic driven non-equilibrium systems that are composed of a driving and a relaxing process. We show that the statistics of driven non-equilibrium systems can be derived from the understanding of the nature of the underlying driving process. For constant driving rates exact power-laws emerge with exponents that are related to the driving rate. If driving rates become state-dependent, or if they vary across the life-span of the process, the functional form of the state-dependence determines the statistics. Constant driving rates lead to exact power-laws, a linear state-dependence function yields exponential or Gamma distributions, a quadratic function gives the normal distribution. Logarithmic and power-law state dependence leads to log-normal and stretched exponential distribution functions, respectively. Also Weibull, Gompertz and Tsallis-Pareto distributions arise naturally from simple state-dependent driving rates. We discuss a simple physical example of consecutive elastic collisions that exactly represents a SSR process.

研究动机与目标

• 建立一个理论框架，将驱动的非平衡系统的统计特性与其底层驱动过程的性质联系起来。
• 研究不同形式的驱动速率（恒定、线性、二次、对数、幂律）如何决定最终的稳态分布。
• 证明SSR过程自然生成大量经验观测到的分布，包括幂律、指数分布和对数正态形式。
• 通过连续弹性碰撞的模型，为SSR过程提供物理实现。
• 统一解释各类系统（如破碎、语言和级联过程）中尺度不变性和重尾统计的起源。

提出的方法

• 将系统建模为样本空间缩减（SSR）过程，其中由于路径依赖，可用状态随时间减少。
• 将驱动速率定义为当前状态或时间的函数，允许其具有恒定、线性、二次、对数或幂律依赖关系。
• 通过分析不同驱动速率函数下样本空间的递归缩减，推导出稳态概率分布。
• 使用精确解析解表明，恒定驱动速率产生由速率决定的幂律分布。
• 将该框架应用于连续弹性碰撞的物理系统，证明其作为SSR过程的精确实现。
• 基于驱动速率的函数形式，将所得分布映射到已知形式（如指数分布、伽马分布、正态分布、对数正态分布、威布尔分布、冈贝尔分布、Tsallis-Pareto分布）。

实验结果

研究问题

• RQ1 SSR过程中恒定驱动速率如何导致精确的幂律分布？
• RQ2 何种与状态相关的驱动速率函数形式会产生指数或伽马分布？
• RQ3 二次驱动速率函数如何在稳态下导致正态分布？
• RQ4 对数或幂律形式的状态依赖在生成对数正态或伸展指数分布中起什么作用？
• RQ5 该框架能否解释非平衡系统中复杂分布（如威布尔、冈贝尔或Tsallis-Pareto分布）的出现？

主要发现

• SSR过程中恒定驱动速率产生精确的幂律稳态分布，其指数由速率直接决定。
• 驱动速率的线性状态依赖导致指数或伽马分布的稳态。
• 驱动速率的二次状态依赖在稳态极限下导致正态分布。
• 对数状态依赖产生对数正态分布，而幂律状态依赖生成伸展指数分布。
• 威布尔、冈贝尔和Tsallis-Pareto分布自然地从SSR过程中特定形式的与状态相关的驱动速率中产生。
• 连续弹性碰撞的物理模型被证明精确实现了SSR过程，验证了该框架在真实系统中的适用性。