[论文解读] How tempered representations of a semisimple Lie group contract to its Cartan motion group

Alexandre Afgoustidis|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2015

Advanced Algebra and Geometry参考文献 50被引用 9

一句话总结

本文通过基于其抛物子群和朗兰兹分类的几何诱导构造，建立了半单李群 $G$ 的退火对偶与它的卡坦运动群 $G_0$ 的酉对偶之间的自然一一对应关系。关键结果是，$G$ 的温和表示作为从其莱维子群的温和表示诱导而来的不可约商表示出现，其结构与 $G_0$-表示的结构相一致。

ABSTRACT

George Mackey suggested in 1975 that there should be analogies between the irreducible unitary representations of a noncompact reductive Lie group $G$ and those of its Cartan motion group $G_0$ $-$ the semidirect product of a maximal compact subgroup of $G$ and a vector space. He conjectured the existence of a natural one-to-one correspondence between "most" irreducible (tempered) representations of $G$ and "most" irreducible (unitary) representations of $G_0$. We here describe a simple and natural bijection between the tempered duals of both groups, and an extension to a one-to-one correspondence between the admissible duals.

研究动机与目标

• 解决乔治·麦克基在1975年提出的关于非紧致约化李群 $G$ 的温和表示与其卡坦运动群 $G_0$ 之间自然对应关系的猜想。
• 将已知的 $G$ 与 $G_0$ 表示理论之间的类比从主系列扩展到完整的温和对偶。
• 提供一个统一的几何与代数框架，通过从类似 $G_0$ 的结构诱导来构造 $G$ 的不可约温和表示。
• 证明 $G$ 的朗兰兹分类与 $G_0$ 的麦克基型构造一致，从而验证该对应关系。

提出的方法

• 利用朗兰兹分类，将 $G$ 的不可约适定表示参数化为从莱维子群的温和表示诱导而来的不可约商表示。
• 从抛物子群 $P_{\rho} = M_{\rho}A_{\rho}N_{\rho}$ 应用抛物诱导，其中 $M_{\rho}$ 是具有最大紧致子群 $K_{\rho}$ 的约化子群。
• 通过麦克基方法构造 $M_{\rho}$ 的温和表示，利用 $K_{\rho}$ 在 $\frak{m}_{\rho} \bigcap \frak{p}$ 上的泛函稳定子。
• 通过证明 $G$ 上的诱导表示 $\tilde{\mathbf{M}}(\chi,\mu)$ 同构于 $\mathrm{Ind}_{P_{\alpha}}^{G}(\mathbf{M}_{M_{\alpha}}(\beta_1,\mu) \otimes e^{\alpha + i\beta_2})$，建立对应关系，将 $G$-表示与类似 $G_0$ 的结构联系起来。
• 利用 $\alpha$ 是 $\frak{a}_{\alpha}$-正则且与所有正根具有正内积的性质，确保唯一不可约商表示的存在。
• 应用康奈斯–卡斯帕罗夫同构和 $C^*$-代数技术，关联群 $C^*$-代数的 $K$-理论，支持 $G$ 与 $G_0$ 之间的对偶性。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在半单李群 $G$ 的温和对偶与它的卡坦运动群 $G_0$ 的酉对偶之间的自然一一对应？
• RQ2 能否系统地将 $G$ 的温和表示结构与 $G_0$ 更简单、更明确的表示理论联系起来？
• RQ3 朗兰兹分类对 $G$ 的描述在多大程度上反映了 $G_0$ 的麦克基型构造？
• RQ4 如何利用抛物诱导和余伴随轨道的几何结构统一 $G$ 与 $G_0$ 的表示理论？
• RQ5 麦克基-希森双射是否可从主系列扩展到完整的温和对偶？

主要发现

• 本文构造了温和对偶 $\widehat{G}^{\mathrm{temp}}$ 与酉对偶 $\widehat{G_0}$ 之间的自然双射，确认了麦克基猜想在完整温和对偶上的成立。
• 证明了 $G$ 的每一个不可约温和表示都是从某个莱维子群 $M_{\alpha}$ 的温和表示诱导而来的唯一不可约商表示，其参数与 $G_0$-表示的参数一致。
• 证明了表示 $\tilde{\mathbf{M}}(\chi,\mu)$ 同构于 $\mathrm{Ind}_{P_{\alpha}}^{G}(\mathbf{M}_{M_{\alpha}}(\beta_1,\mu) \otimes e^{\alpha + i\beta_2})$，建立了 $G$ 与 $G_0$ 结构之间的直接联系。
• 参数 $\alpha$ 是 $\frak{a}_{\alpha}$-正则且与所有正根具有正内积，确保唯一不可约商表示的存在，这是朗兰兹分类中的关键条件。
• 该对应关系可扩展至适定对偶：$G$ 的每一个不可约适定表示都与从某个莱维子群的温和表示诱导而来的表示的商表示等价，从而确认了完整的对偶性。
• 该构造与康奈斯–卡斯帕罗夫同构及 $K$-理论对偶性一致，为 $G$ 与 $G_0$ 之间的 $C^*$-代数对偶性提供了表示理论实现。