[论文解读] How to account for virtual arbitrage in the standard derivative pricing

Kirill Ilinski|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 1999

Financial Markets and Investment Strategies参考文献 3被引用 3

一句话总结

本文展示了如何在不改变其核心数学结构的前提下，将虚拟套利机会纳入标准的Black-Scholes框架。通过采用GARCH型动态扩展基础资产价格过程以引入随机波动率，该模型在保留熟悉的偏微分方程（PDE）和鞅方法的同时，增强了现实性，并在既有的定价范式内容纳了套利类效应。

ABSTRACT

In this short note we show how virtual arbitrage opportunities can be modelled and included in the standard derivative pricing without changing the general framework. Whatever people say about the drawbacks of the Black-Scholes (BS) approach [1] to derivative pricing, it is a standard method and almost any pricing and hedging software in financial institutions is based on it. Practitioners have got used to BSlike partial differential equations, martingales and other related mathematical animals. Both analytical and numerical methods are well developed and it is hardly surprising that practitioners are rather reluctant to "buy" complicated new theories. That is why it is interesting to see how some limitations of BS analysis can be overcome in the same mathematical framework without disturbing the foundations. One way to improve BS is to use a more realistic price process instead of the geometrical random walk. The most popular alternatives are ARCH-GARCH models where the volatility of...

研究动机与目标

• 为解决Black-Scholes模型在捕捉真实市场动态方面的局限性，特别是波动率聚集现象及潜在的套利类效应。
• 在提升模型现实性的同时，保持与现有衍生品定价基础设施（如PDE与鞅测度）的兼容性。
• 探讨是否可将虚拟套利——由模型误设或市场非有效引发的套利类机会——正式建模于标准BS框架之内。
• 证明在Black-Scholes框架中引入GARCH型随机波动率，可在不放弃既有的分析与数值方法的前提下，实现更丰富的价格行为。

提出的方法

• 将Black-Scholes中的标准几何布朗运动扩展为GARCH型随机波动率过程，以更准确反映真实市场的波动率聚集现象。
• 保留风险中性测度与鞅定价框架，以确保与现有衍生品定价软件和理论的一致性。
• 推导出包含时变波动率的修正偏微分方程（PDE），从而实现在更现实动态下的衍生品定价。
• 沿用标准BS中的相同分析与数值技术（如有限差分法、蒙特卡洛模拟），确保实际可实施性。
• 将虚拟套利建模为波动率动态的结果而非真实套利，确保不存在实际无风险利润，但可捕捉市场非有效性。
• 在保留Black-Scholes基础假设的同时，通过波动率建模嵌入更丰富的动态，避免对理论体系进行全面重构。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可在不改变其核心结构的前提下，将虚拟套利机会正式建模于标准Black-Scholes数学框架之中？
• RQ2 如何在保持鞅定价方法的同时，将GARCH型随机波动率整合进Black-Scholes PDE？
• RQ3 在不转向替代模型的前提下，引入时变波动率能在多大程度上提升衍生品定价的现实性？
• RQ4 在风险中性设定下，将虚拟套利建模为波动率动态的结果而非真实套利，其含义是什么？

主要发现

• 通过引入GARCH型随机波动率，可在不改变基本PDE或鞅结构的前提下，将虚拟套利建模于Black-Scholes框架内。
• 该修正模型保留了标准衍生品定价中使用的相同分析与数值求解技术，确保与现有金融软件的兼容性。
• 引入随机波动率使模型能够捕捉原始Black-Scholes模型所缺乏的市场现象，如波动率聚集。
• 该框架允许存在虚拟套利——由模型驱动的错价引发的套利类机会——而不会在风险中性测度下违反无套利原则。
• 该方法为使用Black-Scholes的机构提供了一条实用的升级路径，使其在不彻底重构现有系统的情况下增强模型现实性。
• 由此产生的PDE保持与Black-Scholes PDE相同的形态，但引入了源自GARCH动态的时变波动率项，从而实现更丰富的衍生品定价。