[论文解读] How to construct generalized van der Corput sequences

Ingrid Carbone|arXiv (Cornell University)|Apr 18, 2013

Mathematical Approximation and Integration参考文献 8被引用 3

一句话总结

本文提出了一种简化算法，通过将自然数以基 $L+S$ 表示并反转其数位，构造广义的 van der Corput 序列，即 LS-序列。该方法推广了经典的 van der Corput 构造，并为数位反转过程提供了几何解释，证明所得序列与 LS-反向根函数一致，当 $L=b$ 且 $S=0$ 时可恢复经典 van der Corput 序列。主要贡献在于统一、计算高效的构造方法，以及对反转操作的清晰几何解释。

ABSTRACT

The LS-sequences of points recently introduced by the author are a generalization of van der Corput sequences. They were constructed by reordering the points of the corresponding LS-sequences of partitions. Here we present another algorithm which coincides with the classical one for van der Corput sequences and is simpler to compute than the original construction. This algorithm is based on the representation of natural numbers in base $L+S$ and gives the van der Corput sequence in base $b$ if $L=b$ and S=0. In this construction, as well as in the van der Corput one, it is essential the inversion of digits of the representation in base $L+S$: in this paper we also give a nice geometrical explanation of this "magical" operation.

研究动机与目标

• 开发一种更简单、更高效的 LS-序列点构造算法，该序列广义化了 van der Corput 序列。
• 基于基-$L+S$ 表示，将广义 van der Corput 序列的构造统一于单一框架之下。
• 为 van der Corput 类序列构造中所涉及的数位反转过程提供几何解释。
• 证明 LS-序列点与 LS-反向根函数完全一致，确保序列的均匀分布性和低差异性。
• 将经典 van der Corput 构造扩展至更广泛的序列类别，同时保持理想的差异性特性。

提出的方法

• 该算法将每个自然数 $n$ 以基 $L+S$ 表示，得到数位序列 $a_k(n)$。
• 按位置反转数位，并通过变换 $\tilde{a}_k(n)$ 映射，其形式取决于 $a_k(n) < L$ 或 $a_k(n) \geq L$。
• 定义 LS-反向根函数 $\phi_{L,S}(n)$ 为 $\sum_{k=0}^{M} \tilde{a}_k(n) \gamma^{k+1}$，其中 $\gamma$ 是与序列相关的参数。
• 对 $n \in \mathbb{N}_{L,S}$，序列 $\{\phi_{L,S}(n)\}$ 生成 LS-序列点。
• 该构造确保序列均匀分布，并继承底层划分序列的低差异性。
• 通过将反转过程解释为区间上的变换，提供几何直观，将数位反转与区间细分联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何比原始重排方法更高效地构造广义的 van der Corput 序列？
• RQ2 van der Corput 类序列构造中的数位反转步骤具有何种几何意义？
• RQ3 经典 van der Corput 序列是否可作为基于基-$L+S$ 表示的更广序列类中的特例被恢复？
• RQ4 何种条件可确保所得点列均匀分布且具有低差异性？
• RQ5 LS-反向根函数如何与底层划分序列的结构相关联？

主要发现

• LS-序列点恰好等于在 $\mathbb{N}_{L,S}$ 上通过 LS-反向根函数定义的序列 $\{\phi_{L,S}(n)\}$。
• 当 $L = b$ 且 $S = 0$ 时，构造退化为基 $b$ 下的经典 van der Corput 序列，确认与已知结果的一致性。
• 数位反转过程被几何地解释为一种变换，其将区间映射的方式保持了均匀分布性。
• 该算法在计算上比原始重排方法更简单，因为它避免了对划分点进行显式排序。
• $1,1$-序列（即 Kakutani-Fibonacci 序列）被证明与 $\phi_{1,1}(n)$ 一致，通过前 12 个点的显式计算验证了该方法的有效性。
• 该构造确保所得点列均匀分布，并继承底层划分序列的低差异性。