[论文解读] How to Convexify the Intersection of a Second Order Cone and a Nonconvex Quadratic

Sam Burer, Fatma Kılınç-Karzan|arXiv (Cornell University)|Jun 4, 2014

Advanced Optimization Algorithms Research参考文献 35被引用 6

一句话总结

该论文提出了一种可计算的方法，通过加权聚合定义不等式，将二阶锥（SOCr）与非凸二次锥的交集进行凸化。在易于验证的条件下，该方法可生成紧致的二阶锥可表示松弛，精确捕捉凸包，统一并扩展了关于混合整数锥规划中分离割的先前结果。

ABSTRACT

A recent series of papers has examined the extension of disjunctive-programming techniques to mixed-integer second-order-cone programming. For example, it has been shown---by several authors using different techniques---that the convex hull of the intersection of an ellipsoid, $E$, and a split disjunction, $(l - x_j)(x_j - u) \le 0$ with $l < u$, equals the intersection of $E$ with an additional second-order-cone representable (SOCr) set. In this paper, we study more general intersections of the form $K \cap Q$ and $K \cap Q \cap H$, where $K$ is a SOCr cone, $Q$ is a nonconvex cone defined by a single homogeneous quadratic, and $H$ is an affine hyperplane. Under several easy-to-verify conditions, we derive simple, computable convex relaxations $K \cap S$ and $K \cap S \cap H$, where $S$ is a SOCr cone. Under further conditions, we prove that these two sets capture precisely the corresponding conic/convex hulls. Our approach unifies and extends previous results, and we illustrate its applicability and generality with many examples.

研究动机与目标

• 开发一种通用且可计算的技巧，用于凸化二阶锥可表示（SOCr）集与非凸二次锥的交集。
• 统一并扩展关于涉及二阶锥和非凸二次约束的混合整数锥规划中分离割的先前结果。
• 刻画结果松弛为精确（即等于交集的凸包）的条件。
• 通过利用锥对偶性和特征值分析，提供一个适用于一般非凸二次规划和混合整数锥优化的框架。
• 通过一系列示例（包括信赖域子问题和椭球分割交集）展示该方法的通用性和适用性。

提出的方法

• 该方法使用非负权重对定义SOCr锥和非凸二次锥的不等式进行加权聚合，以确保所得集合的凸性。
• 引入参数化矩阵族 At(t) = (1-t)A + tB，其中 A 和 B 定义两个锥，并分析使 At 变为奇异的最小 t 值。
• 关键步骤涉及分析聚合矩阵 At 的零空间，以验证存在有效二阶锥可表示松弛的条件。
• 该方法依赖于特征值交错性以及二次锥中黑塞矩阵和线性项的结构，以确保松弛既可计算又紧致。
• 通过利用锥对偶性和半正定性性质，推导出凸包由单个SocR约束精确描述的充分条件。
• 通过将聚合框架扩展至包含线性约束，将该方法应用于与仿射超平面的交集，同时保持SocR可表示性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，可通过单个二阶锥可表示松弛精确凸化二阶锥可表示集与非凸二次锥的交集？
• RQ2 如何使用统一的聚合技术，构建此类交集的可计算且紧致的凸松弛？
• RQ3 定义锥的矩阵在结构和谱方面需满足何种条件，才能确保所得松弛捕捉凸包？
• RQ4 该方法能否扩展以处理同时涉及二阶锥和非凸二次锥与仿射超平面交集的情形？
• RQ5 该方法如何统一或推广关于椭球和混合整数锥规划中分裂分离割的先前结果？

主要发现

• 在易于验证的条件下，SOCr锥与非凸二次锥的交集可通过单个二阶锥可表示集合精确凸化。
• 该方法生成一个可计算的紧致凸松弛，且为SocR可表示，其有效性由参数矩阵 At 的奇异性质决定。
• 临界参数 t = r = 1/(1−λ) 标记了聚合矩阵 At 变为奇异的阈值，该值被证明是松弛变为紧致的确切点。
• 当聚合矩阵 At 的零空间包含与二次锥梯度正交的向量时，松弛可捕捉凸包，该结论通过特征值和零空间分析得到验证。
• 该方法推广并统一了关于椭球分割交集和信赖域子问题的先前结果，表明在弱假设下，凸包由单个SocR约束描述。
• 该方法适用于具有椭球约束的一般非凸二次规划，可生成用于可行域凸包的有效SocR不等式。