[论文解读] How to Fairly Allocate Easy and Difficult Chores

Soroush Ebadian, Dominik Peters+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 21, 2021

Game Theory and Voting Systems参考文献 17被引用 16

一句话总结

本文通过证明在具有双值效用（即代理人对物品赋予成本1或p > 1）的家务分配问题中，总存在一种既为帕累托最优（PO）又为“除一个物品外无 envy”（EF1）的分配，从而解决了公平分配领域的一个重大开放问题。作者基于费雪市场框架提出了一种多项式时间算法，通过新颖的分析技术将原有适用于物品的算法方法适配至家务场景。

ABSTRACT

A major open question in fair allocation of indivisible items is whether there always exists an allocation of chores that is Pareto optimal (PO) and envy-free up to one item (EF1). We answer this question affirmatively for the natural class of bivalued utilities, where each agent partitions the chores into easy and difficult ones, and has cost $p > 1$ for chores that are difficult for her and cost $1$ for chores that are easy for her. Such an allocation can be found in polynomial time using an algorithm based on the Fisher market. We also show that for a slightly broader class of utilities, where each agent $i$ can have a potentially different integer $p_i$, an allocation that is maximin share fair (MMS) always exists and can be computed in polynomial time, provided that each $p_i$ is an integer. Our MMS arguments also hold when allocating goods instead of chores, and extend to another natural class of utilities, namely weakly lexicographic utilities.

研究动机与目标

• 解决一个开放问题：在不可分家务分配中，是否存在始终满足EF1与帕累托最优（PO）的分配？
• 将公平性保证从EF1扩展至在结构化效用类别下的最大最小份额公平性（MMS）
• 为具有双值或弱字典序效用的场景，开发一种计算公平且高效分配的多项式时间算法
• 探索在受限效用类别下，是否能在家务分配场景中实现更强的公平性概念（如EFX）
• 建立在MMS与PO分配可高效计算的条件下，即使MMS本身计算非平凡

提出的方法

• 将费雪市场框架适配至家务分配场景，其中代理人具有负效用，目标是通过物品定价实现市场出清
• 引入势函数论证，证明帕累托改进循环可在多项式时间内终止，利用基于代理人估值的物品排序
• 在双值效用下，构建市场均衡以获得EF1与PO分配，确保任一代理人在移除另一人分配中一个物品后均不产生嫉妒
• 在MMS公平性方面，证明任何MMS分配可通过帕累托改进转化为MMS与PO分配，利用势函数严格递减（对物品）或递增（对家务）的性质
• 通过定义分层价值函数h(i,r)对弱字典序效用进行扩展，按代理人偏好对物品排序，并用于界定帕累托改进步骤的数量
• 采用基于环路的改进机制（引理4.14），迭代提升分配，确保在O(m)或O(m²)步内收敛，具体取决于效用类别

实验结果

研究问题

• RQ1 在双值效用下，家务分配是否总是存在EF1与帕累托最优（PO）的分配？
• RQ2 对于双值或弱字典序效用函数，能否高效计算MMS与PO分配？
• RQ3 是否存在一种多项式时间算法，能在家务分配中同时实现EF1与PO公平性？
• RQ4 费雪市场框架能否被适配以处理负效用（家务）场景，同时保持公平性与效率保证？
• RQ5 在个性化双值效用下，实现MMS与PO公平性的计算复杂度是多少？

主要发现

• 当代理人具有双值效用（成本属于{1, p}，且p > 1）时，家务分配的EF1与帕累托最优（PO）分配始终存在
• 可通过适配至家务场景的基于费雪市场的算法，在多项式时间内计算出此类分配
• 对于更广泛的效用类，其中每个代理人i具有不同的整数p_i，MMS分配始终存在，并且可在多项式时间内计算
• 在弱字典序效用下，MMS与PO分配存在，并且可在多项式时间内计算，适用于物品与家务两种场景
• MMS分配的存在性意味着MMS与PO分配的存在性，且可通过帕累托改进链高效计算
• 由于势函数在物品排序上的单调性，该算法在双值效用下运行O(m)步，在弱字典序效用下运行O(m²)步