[论文解读] How to justify Born's rule using the pilot wave theory of de Broglie?

Aurélien Drezet|arXiv (Cornell University)|Sep 28, 2016

Quantum Mechanics and Applications参考文献 8被引用 5

一句话总结

本文在德布罗意-玻姆导航波理论框架内，通过多种动力学推导给出了玻恩定律的解释，表明在温和初始条件下，由确定性动力学自然涌现出量子平衡态——即粒子位置遵循玻恩概率分布。作者利用伯努利映射等混沌映射以及由纠缠引起的弛豫过程，证明初始概率密度的非均匀性会呈指数衰减，从而在长时间极限下实现均匀的量子平衡态。

ABSTRACT

In this article we discuss few new derivations of the so called Born's rule for quantum probability in the context of the pilot wave theory proposed by de Broglie in 1927.

研究动机与目标

• 在德布罗意-玻姆导航波理论框架内，提供玻恩定律的新动力学推导。
• 研究从确定性初始粒子分布中自然涌现出量子平衡态的条件。
• 探讨混沌与纠缠在弛豫至量子平衡态过程中的作用。
• 评估在非平衡态区域中，量子平衡态在导航波理论中的鲁棒性。
• 为未来一种无矛盾的双解理论奠定基础，该理论能完全重现标准量子力学与导航波轨迹。

提出的方法

• 以非相对论性薛定谔方程作为N个无自旋粒子的基础动力学。
• 应用德布罗意-玻姆引导方程，定义由波函数引导的粒子轨迹。
• 使用伯努利映射建模弛豫至量子平衡态：$ y_{n+1} = 2y_n \mod 1 $，该映射诱导指数混合。
• 采用庞特里亚金-弗罗贝尼乌斯迭代关系：$ \rho_{n+1}(y) = \frac{1}{2}(\rho_n(y/2) + \rho_n((y+1)/2)) $，描述密度演化。
• 将概率密度展开为伯努利多项式形式：$ \rho_n(y) = \sum_{m=0}^\infty C_m e^{-n m \ln 2} B_m(y) $，表明非恒定模式呈指数衰减。
• 推导出连续时间弛豫方程：$ \frac{d}{dt}\rho_t(y) = -\frac{\rho_t(y) - 1}{\tau} $，该方程类似于统计力学中的弛豫过程。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，导航波理论能自然导出玻恩概率分布？
• RQ2 引导动力学中的确定性混沌如何促进初始概率分布弛豫至量子平衡态？
• RQ3 纠缠在实现轨迹交叉及在导航波框架中引发混沌动力学方面起到何种作用？
• RQ4 弛豫至量子平衡态能否被建模为类似于玻尔兹曼方程或普里高津耗散系统的动力学过程？
• RQ5 量子平衡态是否为导航波动力学的稳健结果？非平衡态是否可用于检验标准量子力学的偏离？

主要发现

• 无论初始非均匀性如何，概率密度 $ \rho_n(y) $ 随 $ n \to \infty $ 趋近于均匀分布 $ \rho_n(y) \to 1 $。
• 弛豫过程呈指数快速收敛，非均匀分量的衰减速率由 $ e^{-n \ln 2} $ 决定，对应于 $ \ln 2 $ 的李雅普诺夫指数。
• 渐近弛豫至平衡态由连续时间的福克-普朗克型方程描述：$ \frac{d}{dt}\rho_t(y) = -\frac{\rho_t(y) - 1}{\tau} $，其中 $ \tau \propto \tau_0 (1 - e^{-\ln 2})^{-1} $。
• 在温和初始条件下，收敛至量子平衡态具有鲁棒性，因为高阶伯努利多项式模式呈指数衰减。
• 系统表现出K-系统或伯努利位移的典型混合行为，暗示量子平衡态与确定性混沌之间存在深刻联系。
• 结果支持量子平衡态并非人为假设，而是确定性动力学伴随混沌演化下的自然结果。