[论文解读] How to play a disc brake

Oleg N. Kirillov|arXiv (Cornell University)|Aug 7, 2007

Brake Systems and Friction Analysis参考文献 74被引用 19

一句话总结

本文提出了一种基于多重特征值摄动理论的分析框架，用以解释旋转对称弹性体（如盘式制动器和高脚酒杯）中由摩擦引起的不稳定性的机理。该研究揭示了耗散力与非保守力如何在谱网格节点周围产生‘不稳定气泡’，其中非定号阻尼使得即使在无强外部力作用下也能引发亚临界颤振。

ABSTRACT

We consider a gyroscopic system under the action of small dissipative and non-conservative positional forces, which has its origin in the models of rotating bodies of revolution being in frictional contact. The spectrum of the unperturbed gyroscopic system forms a "spectral mesh" in the plane "frequency -gyroscopic parameter" with double semi-simple purely imaginary eigenvalues at zero value of the gyroscopic parameter. It is shown that dissipative forces lead to the splitting of the semi-simple eigenvalue with the creation of the so-called "bubble of instability" - a ring in the three-dimensional space of the gyroscopic parameter and real and imaginary parts of eigenvalues, which corresponds to complex eigenvalues. In case of full dissipation with a positive-definite damping matrix the eigenvalues of the ring have negative real parts making the bubble a latent source of instability because it can "emerge" to the region of eigenvalues with positive real parts due to action of both indefinite damping and non-conservative positional forces. In the paper, the instability mechanism is analytically described with the use of the perturbation theory of multiple eigenvalues. As an example stability of a rotating circular string constrained by a stationary load system is studied in detail. The theory developed seems to give a first clear explanation of the mechanism of self-excited vibrations in the rotating structures in frictional contact, that is responsible for such well-known phenomena of acoustics of friction as the squealing disc brake and the singing wine glass.

研究动机与目标

• 解释旋转弹性体在摩擦接触下自激振动的物理机理，例如盘式制动器和发声的高脚酒杯。
• 解决对称旋转系统中摩擦诱发声学现象缺乏全面分析理论的问题。
• 阐明非定号阻尼与非保守位置力在谱网格节点附近触发亚临界颤振不稳定性中的作用。
• 通过揭示点接触模型导致半定退化，从而解释其为何无法预测不稳定性，进而解决该悖论。
• 构建一种分布接触的通用模型，避免退化现象，实现对啸叫现象的精确模拟。

提出的方法

• 将多重特征值的摄动理论应用于具有两个自由度的陀螺系统，在微小耗散力与非保守力作用下进行分析。
• 分析在陀螺参数为零时形成的双半单纯纯虚特征值构成的谱网格，其对应于频率-角速度平面中的节点。
• 将耗散力的影响建模为形成‘不稳定气泡’——在陀螺参数与特征值实部/虚部构成的三维空间中呈现为环形区域。
• 利用由算子及其在双特征值节点处的特征向量的导数推导出的显式特征值轨迹与稳定性边界近似公式。
• 引入一种改进的分布接触模型，以消除半定退化，恢复通用的不稳定性机制。
• 对特征值轨迹进行分类，并识别与不稳定性起始相关的稳定性边界中的奇点。

实验结果

研究问题

• RQ1 耗散力与非保守力如何相互作用，以触发旋转弹性系统中的亚临界颤振不稳定性？
• RQ2 非定号阻尼在即使阻尼本身具有稳定作用时，如何仍能促成不稳定性？
• RQ3 为何点接触模型无法预测不稳定性？分布接触如何恢复通用的不稳定性机制？
• RQ4 谱网格结构如何影响临界角速度附近不稳定模态的定位与激活？
• RQ5 在存在扰动的情况下，何种解析条件可确定从潜在不稳定气泡到活跃不稳定气泡的转变？

主要发现

• 耗散力在陀螺参数与特征值实部/虚部构成的三维空间中形成‘不稳定气泡’——一个环形区域，使特征值变为实部为负的复数。
• 当阻尼为正定矩阵时，不稳定气泡保持潜在状态，但可被非保守位置力或非定号阻尼激活。
• 推导出不稳定气泡起源及其从潜在相到活跃相转变的显式条件，取决于阻尼矩阵的特征值。
• 非定号阻尼（包括零或负特征值）显著降低不稳定性阈值，即使在非保守力微弱时也能引发不稳定性。
• 该理论识别出稳定性边界中一种新型奇点，其在摩擦诱发振动起始过程中起关键作用。
• 该模型解释了为何旋转系统（如盘式制动器和高脚酒杯）会发声：不稳定性通过摩擦力在谱网格节点处被触发，并选择出单一主导模态。