[论文解读] How to reconcile Information theory and Gibbs-Herz entropy for inverted populated systems

Alessio Gagliardi, Alessandro Pecchia|arXiv (Cornell University)|Mar 10, 2015

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics参考文献 2被引用 3

一句话总结

本文通过证明当与正确的概率分布——即能量 ≤ E 的所有状态上的吉布斯-赫兹均匀分布，而非玻尔兹曼分布——配对时，香农熵泛函仍然有效，调和了信息论与具有反向布居的系统中的吉布斯-赫兹熵。关键结果是热力学温度在平衡状态下始终为正，而涉及负温度热源的卡诺循环中出现的效率大于1的现象，源于未计入的外部驱动力引起的能量通量。

ABSTRACT

In this paper we discuss about the validity of the Shannon entropy functional in connection with the correct Gibbs-Hertz probability distribution function. We show that there is no contradiction in using the Shannon-Gibbs functional and restate the validity of information theory applied to equilibrium statistical mechanics. We show that under these assumptions, entropy is always a monotone function of energy, irrespective to the shape of the density of states, leading always to positive temperatures even in the case of inverted population systems. In the second part we assume the validity of the Shannon entropy and thermodynamic temperature, T=dE/dS, extended to systems under non-equilibrium steady state. Contrary to equilibrium, we discuss the possibility and meaning of a negative temperature in this case. Finally we discuss on Carnot cycles operating with a non-equilibrium bath possessing a negative temperature and leading to apparent efficiencies larger than one, due to a wrong accounting af all the energy and entropy fluxes present in the system, including the external driving forces.

研究动机与目标

• 解决关于在能级态密度有界系统中是否存在负温度的争议。
• 澄清微正则系综的正确熵泛函，主张应使用源自累积密度算符的吉布斯-赫兹熵，而非玻尔兹曼熵。
• 证明当与正确的概率分布配对时，香农熵在热力学系统中仍然有效，从而无需引入新的信息度量。
• 研究非平衡稳态（NESS）中负温度的物理意义及其对卡诺循环效率的影响。
• 表明涉及负温度热源的循环中出现的效率大于1的现象，是能量与熵未完整核算的产物，而非物理上的违反。

提出的方法

• 使用哈密顿系统并将其与外部影响隔离，以定义正确的平衡态，采用微正则系综。
• 比较两种概率密度函数：用于玻尔兹曼熵的微正则密度算符（MDO）与用于吉布斯-赫兹熵的累积密度算符（CDO）。
• 将香农熵泛函 $ S = -k_B ext{Tr}[ ho ho] $ 应用于两种分布，分别导出 $ S_B = ext{ln}| ho_B| $ 和 $ S_{GH} = ext{ln}| ho_{GH}| $。
• 分析导数 $ T = dE/dS $，表明只有吉布斯-赫兹熵能为所有系统（包括具有反向布居的系统）提供单调且为正的温度。
• 将分析扩展至非平衡稳态（NESS），其中系统通过外部驱动力维持在反向布居状态。
• 评估在具有负温度的NESS热源中运行的卡诺循环性能，表明效率大于1是忽略了维系热源非平衡态所需功输入的结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 当使用正确的概率分布时，香农熵泛函能否在平衡统计力学中一致应用？
• RQ2 为何使用玻尔兹曼熵会导致有界态密度系统中出现非物理的负温度？吉布斯-赫兹熵如何解决此问题？
• RQ3 在非平衡稳态中，负温度是否具有物理意义，还是仅是热力学定义的产物？
• RQ4 能否在正常热源与非平衡反向布居态热源之间运行的卡诺发动机实现效率大于一？
• RQ5 外部驱动力在涉及负温度热源的循环中，对能量与熵核算起何种作用？

主要发现

• 源自累积密度算符的吉布斯-赫兹熵是孤立系统在微正则平衡状态下的正确热力学熵，确保温度始终为正。
• 玻尔兹曼熵仅在能量固定于 $ E = ar{E} $ 的条件期望下有效，但在具有异常态密度的系统中作为一般熵泛函时失效。
• 当与正确的概率分布配对时，香农熵在热力学系统中仍然有效，从而无需引入新的信息度量。
• 在非平衡稳态中，可通过 $ T = dE/dS $ 定义负温度，但它并不反映系统的能量含量或能量均分行为。
• 涉及负温度热源的循环中出现的效率大于1的现象是无效的，因为它忽略了维系热源非平衡态所需的功输入。
• 当完整核算所有能量与熵通量（包括外部驱动器的贡献）时，此类循环的总效率必须小于1，从而排除了永动机或暗能量的可能性。