[论文解读] How to (Un-) Quantum Mechanics

C. Baumgarten|arXiv (Cornell University)|Oct 12, 2018

Quantum Mechanics and Applications参考文献 39被引用 3

一句话总结

本文主张，通过摒弃时空形而上学而仅保留时间平移不变性，无需假定量子原理，即可从经典哈密顿力学推导出量子力学。它表明，狄拉克方程和相对论性量子力学可自然地从仅使用辛结构和克利福德代数的纯经典相空间形式中导出，证明经典力学与量子力学之间的数学区别是虚幻的。

ABSTRACT

When compared to quantum mechanics, classical mechanics is often depicted in a specific metaphysical flavour: spatio-temporal realism or a Newtonian "background" is presented as an intrinsic fundamental classical presumption. However, the Hamiltonian formulation of classical analytical mechanics is based on abstract generalized coordinates and momenta: It is a mathematical rather than a philosophical framework. If the metaphysical assumptions ascribed to classical mechanics are dropped, then there exists a presentation in which little of the purported difference between quantum and classical mechanics remains. This presentation allows to derive the mathematics of relativistic quantum mechanics on the basis of a purely classical Hamiltonian phase space picture. It is shown that a spatio-temporal description is not a condition for but a consequence of objectivity. It requires no postulates. This is achieved by evading spatial notions and assuming nothing but time translation invariance.

研究动机与目标

• 挑战标准观点，即量子力学在数学结构上与经典力学根本不同。
• 证明相对论性量子力学的数学，包括狄拉克方程，可从经典哈密顿力学中推导而出，无需额外公理。
• 表明时空实在论并非基础性要求，而是时间平移不变性与辛动力学的后果。
• 主张量子力学的“怪异性”源于错误的表述方式，而非数学结构本身的内在差异。

提出的方法

• 在哈密顿相空间中使用广义坐标与正则动量形式化经典力学，抽象掉时空形而上学。
• 将时间平移不变性作为唯一物理公设，避免对空间或物体的假设。
• 利用辛动力学与拉克斯对描述旋量及其演化，表明其与狄拉克型方程一致。
• 通过基本旋量（大小为4）的克罗内克积构造高阶旋量及其对应哈密顿量。
• 通过旋量场的泰勒级数展开表示高阶哈密顿量，使用具有特定矩阵结构的实克利福德代数（Cl(N−1,1)）。
• 从旋量在经典相空间中的辛运动推导出狄拉克方程与相对论性量子力学。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不假定量子原理的前提下，从经典哈密顿力学推导出相对论性量子力学的数学结构？
• RQ2 经典与量子力学之间的区别是否本质上是数学的，还是解释性形而上学的后果？
• RQ3 对现实的时空描述是否源于时间平移不变性，还是其本身是基础性假设？
• RQ4 能否仅通过辛动力学与克利福德代数的纯经典相空间形式，推导出狄拉克方程？
• RQ5 通过克罗内克积组合旋量在从经典系统生成高阶类量子动力学中的作用是什么？

主要发现

• 狄拉克方程与相对论性量子力学可仅通过时间平移不变性与辛动力学，从经典哈密顿相空间形式中推导而出。
• 由奇数个基本狄拉克旋量（大小为4）组成的旋量表现出辛运动，而偶数个组合则产生线性化哈密顿量为零的守恒量。
• 高阶哈密顿量以旋量场的泰勒级数表示，非零项受γ₀Γ矩阵对称性约束，独立项数量被限制为[n(2n+1)]^k（对应阶数2k）。
• 对于k阶矩，哈密顿量的矩阵大小为2^{8m+4}（当k=2m+1时），对应实克利福德代数Cl(N−1,1)，其中N=8m+4。
• 由偶数个克罗内克积（k=2m）构建的实狄拉克旋量大小为2^{4m}，但当N=8m时，不存在对应的实克利福德代数，表明高阶关联中存在结构不匹配。
• 本文结论认为，量子力学所呈现的‘量子性’并非数学本质，而是解释层面的产物；当去除形而上学假设后，量子力学自然从经典力学中涌现。