[论文解读] How to Wick rotate generic curved spacetime

Matt Visser|arXiv (Cornell University)|Feb 18, 2017

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 14被引用 32

一句话总结

本文將時空中的Wick旋轉重新定義為時空度規本身的複數變形，而非坐標變換 $ t \to -it $，從而解決了傳統方法中的不一致之處。它指出標準的 $ t \to -it $ 規則在一般情況下無法產生實數的歐幾里得度規，特別是在非定態時空中，並主張基於度規的Wick旋轉能保持因果結構與拓撲性質，從而為歐幾里得量子引力提供物理上一致的表述。

ABSTRACT

It is an article of folklore that the collection of ideas identified as Euclidean quantum gravity may be derived from ordinary Lorentzian signature gravity by the procedure of Wick rotation. This note will attempt to shed some light on this relatively ill-understood procedure. I argue that it proves inappropriate and unhelpful to regard Wick rotation in terms of a complex deformation of the time coordinate. Rather, Wick rotation can more usefully be viewed as a complex deformation of the spacetime metric. This simple reformulation of the Wick rotation procedure, while it leaves flat space physics unaffected, has profound implications for quantum gravity.

研究动机与目标

• 解決將 naïve 的 $ t \to -it $ 規則應用於彎曲時空時所產生的根本性不一致，該規則通常會導致複數或非歐幾里得度規。
• 主張Wick旋轉應被視為時空度規的複數變形，而非坐標變換，從而保持流形的可微結構。
• 透過確保所得的歐幾里得度規為實數且正定，與Osterwalder-Schröder正規性相容，從而恢復歐幾里得量子引力的物理一致性。
• 澄清為何在非定態時空（如 de Sitter 空間）中，基於坐標的 naïve 方法會失敗，因為解析延拓的結果依賴於坐標選擇。
• 透過限制歐幾里得配置空間僅包含具有洛倫茲 signature 前驅者之度規，為量子引力中的路徑積分奠定物理上有意義的基礎。

提出的方法

• 將Wick旋轉重構為時空度規張量 $ g_{\mu\nu} \to g_{\mu\nu}^{\text{E}} $ 的複解析延拓，同時保持坐標不變。
• 將基於度規的方法應用於不同切片坐標下的 de Sitter 空間（k=0, k=+1, k=-1），顯示僅在 k=+1 切片下，解析延拓會產生明顯的歐幾里得度規。
• 證明 $ t \to -it $ 規則在一般情況下會失敗，因為它可能產生複數或洛倫茲 signature 的度規，即使在 de Sitter 空間等簡單情況下亦然。
• 使用 Osterwalder-Schröder 正規性條件作為物理標準，以約束路徑積分中允許的歐幾里得度規類別。
• 主張歐幾里得量子引力中的路徑積分必須限制在可從洛倫茲度規進行Wick旋轉的度規上，以避免包含無洛倫茲對應物的任意流形。
• 透過避免依賴坐標的變換，直接以坐標不變的方式對度規張量進行變形，從而保持流形的可微結構。

实验结果

研究问题

• RQ1 為何標準的 $ t \to -it $ 規則在一般彎曲時空中無法產生實數的歐幾里得度規？
• RQ2 在 de Sitter 空間等非定態時空中，Wick旋轉應如何一致地定義？此處坐標依賴的解析延拓會導致矛盾結果。
• RQ3 Wick旋轉在彎曲時空中的正確幾何解釋為何——是坐標變換還是度規變形？
• RQ4 如何限制歐幾里得量子引力中的路徑積分，使其僅包含具有洛倫茲 signature 對應物的物理上有意義的配置？
• RQ5 Osterwalder-Schröder 正規性條件在約束量子引力中允許的歐幾里得度規類別中扮演何種角色？

主要发现

• naïve 的 $ t \to -it $ 規則在一般彎曲時空中會導致複數或非歐幾里得度規，例如在共動坐標下 $ k=0 $ 的 de Sitter 空間，解析延拓後度規顯然變為複數。
• 相反，在 $ k=+1 $ 切片下的 de Sitter 空間，解析延拓後會產生實數、正定的歐幾里得度規，對應半徑為 $ H^{-1} $ 的 4-球面，顯示出 naïve 方法的坐標依賴性。
• 對於 $ k=-1 $ 切片，解析延拓會產生 (3,1) 簽名的度規，而非歐幾里得度規，證明即使在簡單情況下，naïve 方法也可能無法產生歐幾里得簽名度規。
• 本文確立了Wick旋轉應被視為度規張量的複數變形，而非坐標變換，此方式能保持流形的可微結構，並避免坐標依賴性。
• 透過將Wick旋轉重新解釋為度規變形，該方法確保與因果性及 Osterwalder-Schröder 正規性相容，從而為歐幾里得量子引力提供物理上一致的基礎。
• 歐幾里得量子引力中的路徑積分必須限制在可從洛倫茲度規進行Wick旋轉的度規上，因為包含無此對應關係的任意歐幾里得流形會違反物理原則與奧卡姆剃刀原理。