[论文解读] How viable is quantum annealing for solving linear algebra problems?

Ajinkya Borle, Samuel J. Lomonaco|arXiv (Cornell University)|Jun 21, 2022

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 6

一句话总结

本文研究了量子退火在求解线性代数问题中的可行性，特别是线性最小二乘（LLS）和线性方程组（LSE）问题。通过绝热量子计算模拟，发现当行数远超列数时，量子退火在病态系统和大规模LLS问题中表现良好，但随着变量精度的提高，其性能出现指数级下降。作者提出一种混合量子-经典求解器，利用量子退火生成初始猜测，随后通过经典定点迭代法进行优化，结果显示改进幅度适中——LLS问题中约为8–9%，尤其在后处理后效果更佳，表明LLS问题中具有潜在优势。

ABSTRACT

With the increasing popularity of quantum computing and in particular quantum annealing, there has been growing research to evaluate the meta-heuristic for various problems in linear algebra: from linear least squares to matrix and tensor factorization. At the core of this effort is to evaluate quantum annealing for solving linear least squares and linear systems of equations. In this work, we focus on the viability of using quantum annealing for solving these problems. We use simulations based on the adiabatic principle to provide new insights for previously observed phenomena with the D-wave machines, such as quantum annealing being robust against ill-conditioned systems of equations and scaling quite well against the number of rows in a system. We then propose a hybrid approach which uses a quantum annealer to provide a initial guess of the solution $x_0$, which would then be iteratively improved with classical fixed point iteration methods.

研究动机与目标

• 评估量子退火在求解线性最小二乘（LLS）和线性方程组（LSE）问题中的可行性。
• 研究关键参数（如条件数、变量数、方程数和变量精度）对量子退火求解这些问题性能的影响。
• 通过绝热量子演化模拟，理解其基本行为，避免特定硬件的偏差，支持超越D-Wave实测观察的结论。
• 提出并评估一种混合量子-经典方法，利用量子退火生成初始解猜测，随后通过经典定点迭代法进行优化。
• 比较量子辅助初始猜测与经典零初始值在收敛速度和解精度方面的有效性。

提出的方法

• 使用绝热原理模拟绝热量子计算（AQC），以建模量子退火在LLS和LSE问题中的演化过程，避免硬件特异性偏差。
• 通过三次复杂度变换将LLS和LSE问题映射为QUBO形式：LLS为O(mn²)，LSE为O(n³)，使其可编码于D-Wave的量子退火架构中。
• 利用伊辛模型与QUBO等价性，将连续的线性代数问题转化为适合量子退火器的离散二值优化问题。
• 实现一种混合量子-经典求解器，其中量子退火器提供初始解猜测 $x_0^{(q)}$，随后通过经典定点迭代法（如LSMR）进行优化。
• 对量子输出应用贪心下降后处理，以提升解的质量，再输入经典求解器。
• 在不同问题规模和硬件平台（D-Wave 2000Q和Advantage 4.1）下，比较量子辅助与经典初始猜测的性能指标（迭代次数和绝对误差）。

实验结果

研究问题

• RQ1 在线性最小二乘问题中，量子退火的运行时间如何随变量数、方程数和条件数变化？
• RQ2 增加变量精度（位宽）对量子退火求解线性代数问题的性能有何影响？
• RQ3 量子退火能否为经典迭代求解器在LLS和LSE问题中提供有用的初始猜测？若能，其改进在何种条件下显著？
• RQ4 在收敛速度和解精度方面，混合量子-经典求解器在LLS和LSE问题中的表现有何差异？
• RQ5 硬件选择（如D-Wave 2000Q与Advantage 4.1）是否因量子比特连通性和嵌入效率的差异，显著影响量子辅助初始猜测的有效性？

主要发现

• 量子退火在病态线性系统中表现稳健，并且当行数远超列数时，其运行时间随方程数的增加而良好扩展。
• 随着解变量精度（位宽）的提高，量子退火的运行时间出现指数级下降，表明存在根本性的缩放限制。
• 采用量子退火生成初始猜测的混合量子-经典方法，在5μs退火时间下，LLS问题的迭代次数可实现约8–9%的改进，但随着问题规模增大，改进幅度减小。
• 对于LSE问题，量子辅助初始猜测在迭代次数上中位数改善约8%，但收益不够稳定，且对问题规模和退火时间更敏感。
• 应用贪心下降后处理显著提升了解的质量，尤其在LLS问题中，部分情况下可实现精确解而无需进一步经典优化。
• 由于更优的量子比特连通性，Advantage 4.1（APU）处理器在相同问题规模下优于D-Wave 2000Q，实现了更高效的次问题嵌入和更少的问题规模膨胀。