[论文解读] Howe type duality for metaplectic group acting on symplectic spinor valued forms

Svatopluk Krýsl|arXiv (Cornell University)|May 19, 2008

Advanced Algebra and Geometry参考文献 22被引用 8

一句话总结

本文为作用于辛旋量值外微分形式 $\bigwedge^{\bullet}\mathbb{V}^* \otimes \mathbf{S}$ 的梅塔普利克群 $Mp(\mathbb{V},\omega)$ 建立了类似 Howe 的对偶性，证明该作用的交换代数由超李代数 $\mathfrak{osp}(1|2)$ 及两个特殊算子生成，从而在 $Mp(\mathbb{V},\omega)$ 与 $\mathfrak{osp}(1|2)$ 的联合作用下实现无重数分解。该结果将经典对偶理论拓展至辛和超代数设定。

ABSTRACT

Let $λ: ilde{G} o G$ be the non-trivial double covering of the symplectic group $G=Sp(V,ω)$ of the symplectic vector space $(V,ω)$ by the metaplectic group $ ilde{G}=Mp(V,ω).$ In this case, $λ$ is also a representation of $ ilde{G}$ on the vector space $V$ and thus, it gives rise to the representation of $ ilde{G}$ on the space of exterior forms $\bigwedge^{\bullet}V^*$ by taking wedge products. Let $S$ be the minimal globalization of the Harish-Chandra module of the complex Segal-Shale-Weil representation of the metaplectic group $ ilde{G}.$ We prove that the associative commutant algebra $\hbox{End}_{ ilde{G}}(\bigwedge^{\bullet}V^*\otimes S)$ of the metaplectic group $ ilde{G}$ acting on the $S$-valued exterior forms is generated by certain representation of the super ortho-symplectic Lie algebra $osp(1|2)$ and two distinguished operators. This establishes a Howe type duality between the metaplectic group and the super Lie algebra $\mathfrak{osp}(1|2).$ Also the space $\bigwedge^{\bullet}V^*\otimes S$ is decomposed wr. to the joint action of $Mp(V,ω)$ and $osp(1|2).$

研究动机与目标

• 将类似 Howe 的对偶性推广至作用于辛旋量值外微分形式的梅塔普利克群。
• 确定梅塔普利克群作用于 $\bigwedge^{\bullet}\mathbb{V}^* \otimes \mathbf{S}$ 时的交换代数，其中 $\mathbf{S}$ 是 Segal-Shale-Weil 表示的最小整体化解。
• 证明该交换代数由 $\mathfrak{osp}(1|2)$ 及两个特定算子生成，从而建立超对偶性。
• 在 $Mp(\mathbb{V},\omega)$ 与 $\mathfrak{osp}(1|2)$ 的联合作用下，将空间 $\bigwedge^{\bullet}\mathbb{V}^* \otimes \mathbf{S}$ 分解为不可约分量。
• 将该对偶性应用于辛 Dirac 算子与 Rarita-Schwinger 算子，关联其谱与特征空间。

提出的方法

• 通过最小整体化解函子将 Segal-Shale-Weil 表示的 Harish-Chandra 模扩展为梅塔普利克群 $Mp(\mathbb{V},\omega)$ 的全局表示 $\mathbf{S}$。
• 通过楔积与梅塔普利克表示分析 $Mp(\mathbb{V},\omega)$ 在 $\bigwedge^{\bullet}\mathbb{V}^* \otimes \mathbf{S}$ 上的作用。
• 利用表示论技巧与 $\mathfrak{osp}(1|2)$-模结构计算交换代数 $\mathrm{End}_{\widetilde{G}}(\bigwedge^{\bullet}\mathbb{V}^* \otimes \mathbf{S})$。
• 证明依赖于某些算子 $F^{\pm}$、$H$、$E^{\pm}$ 及其线性组合的 $\mathfrak{osp}(1|2)$-等变性。
• 通过证明空间 $\bigwedge^{\bullet}(\mathbb{V}^*)^{\mathbb{C}} \otimes \mathbf{S}$ 可分解为不可约 $(\mathfrak{g} \times \mathfrak{g}')$-模的直和，建立分解。
• 利用 Grothendieck 张量积拓扑与最小整体化解函子的相容性，推导全局结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 梅塔普利克群作用于辛旋量值外微分形式时，其交换代数的结构是什么？
• RQ2 在此设定中，超李代数 $\mathfrak{osp}(1|2)$ 如何作为梅塔普利克群作用的交换代数出现？
• RQ3 在 $Mp(\mathbb{V},\omega)$ 与 $\mathfrak{osp}(1|2)$ 的联合作用下，$\bigwedge^{\bullet}\mathbb{V}^* \otimes \mathbf{S}$ 的作用能否分解为不可约分量？
• RQ4 Segal-Shale-Weil 表示的最小整体化解在实现该对偶性中起什么作用？
• RQ5 该对偶性如何与具有梅塔普利克结构的流形上辛 Dirac 算子与 Rarita-Schwinger 算子的谱相关联？

主要发现

• 作用于 $\bigwedge^{\bullet}\mathbb{V}^* \otimes \mathbf{S}$ 的梅塔普利克群的交换代数由超李代数 $\mathfrak{osp}(1|2)$ 及两个特定算子生成。
• 空间 $\bigwedge^{\bullet}\mathbb{V}^* \otimes \mathbf{S}$ 在 $Mp(\mathbb{V},\omega)$ 与 $\mathfrak{osp}(1|2)$ 的联合作用下分解为不可约表示的直和，确立了无重数分解。
• 该分解作为 $(\mathfrak{g} \times \tilde{K}) \times \mathfrak{g}'$-模可表示为 $\bigoplus_{j=0}^{l}[(E_{jj}^{+} \otimes \mathbb{G}^{j}) \oplus (E_{jj}^{-} \otimes \mathbb{G}^{j})]$。
• $\mathfrak{osp}(1|2)$-作用通过算子 $F^{\pm}$、$H$、$E^{\pm}$ 实现，这些算子被证明是 $\mathfrak{g}'$-等变的，且对线性组合封闭。
• 该对偶性使得能够以坐标无关方式分析辛 Dirac 算子与 Rarita-Schwinger 算子，特别是通过辛扭量算子 $T_1$ 关联其谱。
• 结果表明：若 $\lambda \in \mathrm{Spec}(\mathfrak{D}) \setminus -i l(\mathrm{Kill})$，则 $\lambda - \frac{1}{l}\lambda \in \mathrm{Spec}(\mathfrak{R})$，且对 $\psi \in \mathrm{Eigen}(\mathfrak{D}) \setminus \mathrm{Kill}$，有 $T_1\psi \in \mathrm{Eigen}(\mathfrak{R})$。