[论文解读] $hp$-Version discontinuous Galerkin methods on essentially arbitrarily-shaped elements

Andrea Cangiani, Zhaonan Dong+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 4, 2019

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 50被引用 14

一句话总结

本论文提出了一种 $hp$-版本不连续伽辽金方法，在无需使用非线性映射的情况下，实现了对本质上任意形状的网格（包括曲线多边形）的稳定性与最优收敛性。关键创新在于一种依赖于形状但对变分性不敏感的内部罚函数稳定化方法，该方法基于在一般单元几何下的新逆估计而实现，数值实验验证了在 $p$-型加密下具有指数收敛性。

ABSTRACT

We extend the applicability of the popular interior-penalty discontinuous Galerkin (dG) method discretizing advection-diffusion-reaction problems to meshes comprising extremely general, essentially arbitrarily-shaped element shapes. In particular, our analysis allows for \emph{curved} element shapes, without the use of non-linear elemental maps. The feasibility of the method relies on the definition of a suitable choice of the discontinuity penalization, which turns out to be explicitly dependent on the particular element shape, but essentially independent on small shape variations. This is achieved upon proving extensions of classical trace and Markov-type inverse estimates to arbitrary element shapes. A further new $H^1-L_2$-type inverse estimate on essentially arbitrary element shapes enables the proof of inf-sup stability of the method in a streamline-diffusion-like norm. These inverse estimates may be of independent interest. A priori error bounds for the resulting method are given under very mild structural assumptions restricting the magnitude of the local curvature of element boundaries. Numerical experiments are also presented, indicating the practicality of the proposed approach.

研究动机与目标

• 将 $hp$-版本内部罚函数不连续伽辽金（IP-dG）方法的适用范围扩展至包含曲线多边形在内的任意形状网格。
• 在对单元曲率的假设尽可能少的前提下，建立该方法的稳定性和收敛性，且不使用非线性参数化映射。
• 推导适用于任意单元形状的新型迹和马克夫型逆估计，以支持鲁棒的误差分析。
• 在一般形状上证明一种 $H^1-L^2$-型逆估计，以支持在类似流线扩散范数下的 inf-sup 稳定性。
• 通过在具有间断解和振荡系数的曲线网格上的数值实验，验证该方法的实用性。

提出的方法

• 提出一种在任意多边形和曲线单元上使用显式依赖于局部单元几何的内部罚函数稳定化的新型不连续伽辽金弱形式。
• 推导适用于任意单元形状的广义迹和马克夫型逆不等式，确保离散范数的有界性。
• 提出一种在本质上任意单元上成立的新型 $H^1-L^2$ 逆估计，这对于在类似流线扩散范数下证明 inf-sup 稳定性至关重要。
• 通过显式针对单元形状设计但对小形状变化具有鲁棒性的罚函数项，弱式地强制连续性。
• 采用复合求积规则处理具有流入/流出部分的面上的积分，从而在非对齐网格上实现精确计算。
• 在固定且曲率的网格上使用 $p$-型加密，实现指数收敛，展示了谱精度。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不使用非线性映射的前提下，使 $hp$-版本 IP-dG 方法在包含曲线多边形在内的任意形状网格上保持稳定与收敛？
• RQ2 如何将逆估计推广至任意单元几何，以支持误差分析与稳定性？
• RQ3 内部罚函数应采取何种形式，才能在保证稳定性的同时对小形状变化保持鲁棒性？
• RQ4 能否在任意单元形状下证明在类似流线扩散范数下的 inf-sup 稳定性？
• RQ5 当网格与间断或振荡系数对齐时，该方法在 $p$-型方法中是否能实现指数收敛？

主要发现

• 所提方法在与解间断对齐的曲率网格上进行 $p$-型加密时，实现了 $p$-型下的指数收敛，即使在振荡的对流场下亦然。
• 数值实验表明，当每个单元内能解析两个完整振荡周期时，$p \geq 6$ 下可实现谱精度，尽管在低 $p$ 时存在初始平台期。
• 新型 $H^1-L^2$ 逆估计在任意形状上的成立，使得在类似流线扩散范数下证明 inf-sup 稳定性成为可能，这是实现鲁棒性的关键步骤。
• 罚函数参数显式依赖于单元形状，但对小形状变化表现出鲁棒性，从而支持实际实现。
• 该方法成功处理了复杂网格几何，包括非对齐的流入边界和曲线界面，而无需网格对齐或重参数化。
• 理论结果得到了在具有间断解和曲线界面的双曲-抛物问题上的数值实验支持，验证了其鲁棒性能。