[论文解读] Hunting $\varepsilon$: The origin and validity of quasi-steady-state reductions in enzyme kinetics

Justin Eilertsen, Malgorzata Tyczynska+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 8, 2021

Protein Structure and Dynamics参考文献 48被引用 3

一句话总结

本文利用几何奇异摄动理论与中心流形分析，识别出控制分子间自催化酶原活化（IAZA）反应机理中拟稳态近似（QSSA）有效性的无量纲参数ε。研究表明，ε源于快慢时间尺度之比，且QSS约化在一种极限下可通过Fenichel理论证明，在另一种极限下则通过中心流形理论证明，其有效性取决于参数空间中的路径，特别是在动态跨临界分支点附近，经典理论失效。

ABSTRACT

The estimation of the kinetic parameters requires the careful design of experiments under a constrained set of conditions. Many estimates reported in the literature incorporate protocols that leverage simplified mathematical models known as quasi-steady-state reductions. Such reductions often - but not always - emerge as the result of a singular perturbation scenario. However, the utilization of the singular perturbation reduction method requires knowledge of a dimensionless parameter, $\varepsilon$, that is proportional to the ratio of the reaction's fast and slow timescales. Using techniques from differential equations, Fenichel theory, and center manifold theory, we derive the appropriate $\varepsilon$ whose magnitude regulates the validity of the quasi-steady-state reduction employed in the reported experimental procedures for intermolecular autocatalytic zymogen activation reaction. Although the model equations are two-dimensional, the fast/slow dynamics are rich. The phase plane exhibits a dynamic transcritical bifurcation point in a particular singular limit. The existence of such a bifurcation is relevant, because the critical manifold losses normal hyperbolicity and classical Fenichel theory is inapplicable. Furthermore, we show that in some cases chemical reversibility can be interpreted dynamically as an imperfection, since the presence of reversibility can destroy the bifurcation structure present in the singular limit. We show that the reduction method by which QSS reductions are justified can depend on the path taken in parameter space. Specifically, we show that the standard quasi-steady-state reduction for this reaction is justifiable by center manifold theory in one limit, and via Fenichel theory in a different limit.

研究动机与目标

• 确定控制IAZA反应机理中拟稳态约化有效性的正确无量纲参数ε。
• 解决在使用QSS近似进行实验协议时，何时能获得准确动力学参数估计的模糊性问题。
• 分析IAZA机理由奇异极限下的动态分支结构，其中由于法向双曲性丧失，经典Fenichel理论失效。
• 阐明在存在化学可逆性或初始条件变化时，QSS约化在数学上成立的条件。
• 证明QSS约化的合理性取决于在参数空间中所采取的路径，而不仅仅取决于所取的极限。

提出的方法

• 应用几何奇异摄动理论（GSPT），将适当的ε推导为IAZA机理中快慢时间尺度之比。
• 利用Fenichel理论，在快时间尺度远短于慢时间尺度的极限下，于法向双曲性条件下证明QSS约化的合理性。
• 采用中心流形理论，在总酶浓度极小（ET → 0）的极限下证明QSS约化的合理性，此时临界流形失去法向双曲性。
• 进行渐近分析，表明轨迹从分支点保持有界距离，该距离与线性化系统特征值之比的平方根成正比。
• 分析相平面动力学，识别出奇异极限下的动态跨临界分支，该分支破坏了标准GSPT的适用性。
• 比较化学可逆性的影响，表明其作为动态扰动，可能破坏不可逆极限下的分支结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 控制分子间自催化酶原活化机理中拟稳态近似有效性的正确无量纲参数ε是什么？
• RQ2 为何在奇异极限下存在动态跨临界分支时，标准拟稳态约化无法被严格证明其合理性？
• RQ3 QSS约化的合理性如何依赖于在参数空间中所采取的路径，特别是在趋近不同极限（如k2极小与ET极小）时？
• RQ4 化学可逆性以何种方式作为动态扰动，改变IAZA机理的分支结构？
• RQ5 中心流形理论与Fenichel理论能否共同用于证明相同的QSS约化？若能，分别在何种不同的参数极限下成立？

主要发现

• 参数ε被推导为快慢时间尺度之比，其值极小（ε ≪ 1）是IAZA机理中拟稳态约化有效的必要条件。
• 从典型实验初始条件出发的轨迹，与动态跨临界分支点之间的距离保持有界，该距离与线性化系统特征值之比的平方根成正比。
• 由于法向双曲性丧失，经典Fenichel理论在分支点处不适用，但存在一种伪Canard，可直接穿过该点。
• 标准拟稳态约化在总酶浓度极小极限（ET → 0）下由中心流形理论证明合理，在k2极小极限下由Fenichel理论证明合理。
• 化学可逆性作为动态扰动，可能破坏分支结构，从而改变QSS近似的有效性。
• QSS约化的合理性具有路径依赖性：同一约化可在不同参数极限下由不同数学理论证明其合理性。