[论文解读] Hurwitz numbers and BKP hierarchy

S. M. Natanzon, A. Yu. Orlov|arXiv (Cornell University)|Jul 31, 2014

Commutative Algebra and Its Applications参考文献 1被引用 13

一句话总结

本文建立了实射影平面 ℝP² 的分支覆盖的 Hurwitz 数与可积系统 BKP 层之间的联系。它表明，特定的生成函数——超几何 BKP tau 函数——编码了具有指定分支轮廓的 Hurwitz 数的加权和，推广了此前针对球面的结果，并通过 BKP 框架将矩阵积分、舒尔函数与拓扑场论联系起来。

ABSTRACT

We consider special series in ratios of the Schur functions which are defined by integers $ extsc{f}\ge 0$ and $ extsc{e} \le 2$, and also by the set of $3k$ parameters $n_i,q_i,t_i,\,i=1,..., k$. These series may be presented in form of matrix integrals. In case $k=0$ these series generates Hurwitz numbers for the $d$-fold branched covering of connected surfaces with a given Euler characteristic $ extsc{e}$ and arbitrary profiles at $ extsc{f}$ ramification points. If $k>0$ they generate weighted sums of the Hurwitz numbers with additional ramification points which are distributed between color groups indexed by $i=1,...,k$, the weights being written in terms of parameters $n_i,q_i,t_i$. By specifying the parameters we get sums of all Hurwitz numbers with $ extsc{f}$ arbitrary fixed profiles and the additional profiles provided the following condition: both, the sum of profile lengths and the number of ramification points in each color group are given numbers. In case $ extsc{e}= extsc{f}=1,2$ the series may be identified with BKP tau functions of Kac and van de Leur of a special type called hypergeometric tau functions. Sums of Hurwitz numbers for $d$-fold branched coverings of ${\mathbb{RP}}^2$ are related to the one-component BKP hierarchy. We also present links between sums of Hurwitz numbers and one-matrix model of the fat graphs.

研究动机与目标

• 将 Hurwitz 数与可积层之间的联系从球面扩展到非可定向曲面，特别是 ℝP²。
• 利用 BKP tau 函数，为 ℝP² 的 d 重分支覆盖的 Hurwitz 数的加权和构造生成函数。
• 将先前关于矩阵积分与舒尔函数的结果推广至 BKP 设置，特别是针对超几何 tau 函数。
• 通过 BKP 层结构，建立单位酉群上的矩阵积分与 Hurwitz 数之间的对应关系。
• 在统一的可积系统框架下，统一描述可定向（球面）与非可定向（ℝP²）曲面的 Hurwitz 数。

提出的方法

• 使用以整数 f ≥ 0、e ≤ 2 和 3k 个参数 (n_i, q_i, t_i)（i = 1,…,k）为参数的舒尔函数比值的特殊级数。
• 利用 Itzykson-Zuber 和 Cauchy-Littlewood 公式，将这些级数表示为单位酉群 U(N) 上的矩阵积分。
• 应用 BKP tau 函数形式体系，特别是 Kac 和 van de Leur 的超几何 tau 函数，以生成加权 Hurwitz 数。
• 通过在多个单位酉群上积分推导生成函数，使用恒等式 ∫ s_λ(AUBU†) dU = s_λ(A)s_λ(B)/s_λ(I_N)。
• 构建 K 重矩阵乘积的矩阵积分，得到涉及 s_λ(A_i) 和 s_λ(I_N)^{1-K} 的表达式。
• 依赖 Hurwitz 数的弗罗贝尼乌斯公式与对称群的特征理论，将表示论与 tau 函数联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在 BKP 层框架内编码 ℝP² 分支覆盖的 Hurwitz 数？
• RQ2 超几何 BKP tau 函数在生成具有固定分支轮廓的 Hurwitz 数加权和中起什么作用？
• RQ3 在 BKP 设置中，单位酉群上的矩阵积分如何与 Hurwitz 数关联，其生成函数的结构是怎样的？
• RQ4 参数 (n_i, q_i, t_i) 如何控制加权和中不同颜色组内额外分支点的分布？
• RQ5 BKP tau 函数形式体系能否统一描述可定向与非可定向曲面的 Hurwitz 数？

主要发现

• ℝP² 的 d 重分支覆盖的 Hurwitz 数的生成函数被识别为 Kac 和 van de Leur 的超几何 BKP tau 函数。
• 当 e = f = 1 或 2 时，由舒尔函数与参数 n_i, q_i, t_i 构造的级数对应于 BKP tau 函数，推广了 k=0 的情形。
• BKP tau 函数的矩阵积分表示给出了一个生成函数，用于计算具有固定总轮廓长度和每种颜色组中分支点数的 Hurwitz 数的加权和。
• 该构造推广了两分量 KP 层的先前结果，并将矩阵模型与 Hurwitz 理论之间的联系扩展至非可定向曲面。
• 单分量 BKP 层的生成函数精确对应于 ℝP² 覆盖的 Hurwitz 数之和。
• 本文建立了单矩阵模型的胖图与 Hurwitz 数之和之间通过 BKP 层的直接联系，为拓扑归纳与随机矩阵理论提供了新的可积系统视角。