[论文解读] Hurwitz Spaces and Moduli Spaces as Ball Quotients via Pull-back

Brent Doran|ArXiv.org|Apr 20, 2004

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 25被引用 3

一句话总结

本文通过基于交集上同调与单值性的拓扑拉回构造，在 Deligne-Mostow 模空间 $DM(n,\mu)$ 内构造了子球面商。通过利用局部系统分析超几何函数，并利用交积配对导出的赫尔米特型形式，作者确定了在何种条件下，与非齐次二元型相关的 Hurwitz 空间会呈现球面商结构，从而恢复了已知结果，例如有理椭圆曲面模空间作为球面商的结构。

ABSTRACT

We define hypergeometric functions using intersection homology valued in a local system. Topology is emphasized; analysis enters only once, via the Hodge decomposition. By a pull-back procedure we construct special subsets S_{pi}, derived from Hurwitz spaces, of Deligne-Mostow moduli spaces DM(n,mu). Certain DM(n,mu) are known to be ball quotients, uniformized by hypergeometric functions valued in a complex ball (i.e., complex hyperbolic space). We give sufficient conditions for S_{pi} to be a subball quotient. Analyzing the simplest examples in detail, we describe ball quotient structures attached to some moduli spaces of inhomogeneous binary forms. This recovers in particular the structure on the moduli space of rational elliptic surfaces given by Heckman and Looijenga. We make use of a natural partial ordering on the Deligne-Mostow examples (which gives an easy way to see that the original list of Mostow, eventually corrected by Thurston, is in error), and so highlight two key examples, which we call the Gaussian and Eisenstein ancestral examples.

研究动机与目标

• 在 Deligne-Mostow 模空间 $DM(n,\mu)$ 内，通过 Hurwitz 空间的拉回构造一种拓扑方法，以建立子球面商的构造。
• 阐明非齐次二元型模空间中球面商结构的几何与拓扑起源。
• 利用交集上同调与单值性不变量，系统地刻画此类模空间成为子球面商的条件。
• 通过 Eisenstein 祖先例子，重新恢复并重新诠释有理椭圆曲面模空间上的球面商结构。
• 强调高斯与 Eisenstein 祖先例子作为基础情形，其具有丰富的子球面商结构。

提出的方法

• 使用取值于局部系统中的交集上同调来定义一个在单值作用下保持不变的赫尔米特型形式 $\Psi$，从而得到一个具有 $\Gamma$-作用的格 $\Lambda$。
• 通过分支覆盖 $\pi: \mathbb{P}^1 \to \mathbb{P}^1$ 对秩 1 局部系统应用拉回过程，重点关注具有非平凡单值性的点。
• 利用交集上同调的 Hodge 分解提取全纯 1-形式，从而定义进入复球面的超几何映射 $HG_\mu$。
• 从双次数为 $(a,b)$ 的非齐次二元型构造一个伪判别式映射 $\Delta$，其取值于 $\mathbb{P}^1$ 上的 $N$ 个点构型，其中 $N = ad_1 = bd_2$。
• 分析映射 $\Delta$ 的次数与纤维结构，表明其在特定条件下为 $\gcd(a,b)$ 对 1 的映射，或为嵌入。
• 通过维数计数与反证法证明：当 $d_2 > d_1 + 1$ 时，$\Delta$ 是单射（模单位根），且其次数为 $\gcd(a,b)$，从而导致超曲面像与子球面商结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，与分支覆盖 $\pi$ 相关的 Hurwitz 空间会在 Deligne-Mostow 模空间 $DM(n,\mu)$ 内生成子球面商？
• RQ2 如何利用交集上同调与单值性不变量来构造均匀化子球面商的超几何函数？
• RQ3 从非齐次二元型到 $N$-点模空间的伪判别式映射 $\Delta$ 的几何意义是什么？
• RQ4 为何高斯与 Eisenstein 祖先例子支持丰富的子球面商族？它们与经典模空间有何关联？
• RQ5 在何种情况下，映射 $\Delta$ 是嵌入或有限对一映射？这如何影响模空间的结构？

主要发现

• 通过有理 Weierstrass 纤维化描述的有理椭圆曲面模空间，是一个与 Eisenstein 祖先例子同构的超球面商。
• 对于双次数 $(3,2,12)$，伪判别式 $\Delta$ 在合适的开子集上为嵌入，从而产生子球面商结构。
• 对于双次数 $(6,2,6)$ 与 $(4,2,8)$，映射 $\Delta$ 为一般 2 对 1，其像在 $DM(n,\mu)$ 中为余维数 1 的超曲面，从而导致子球面商结构。
• 条件 $d_2 > d_1 + 1$ 确保 $\Delta$ 在单位根模下为单射，且 $\Delta$ 的次数为 $\gcd(a,b)$。
• 通过性质 $G$ 分类子球面商，与伪判别式像为余维数 1 超曲面的分类完全一致。
• 本文识别出 Deligne-Mostow 例子之间的一个自然偏序关系，该关系有助于修正并澄清 Mostow 的原始列表，最终由 Thurston 进一步完善。