[论文解读] Hybrid collocation perturbation for PDEs with random domains

Julio E. Castrillón-Candás, Fabio Nobile+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 29, 2017

Probabilistic and Robust Engineering Design参考文献 13被引用 5

一句话总结

本文提出了一种混合配置-扰动方法，用于求解具有随机域的椭圆PDE，通过将域变化分解为大尺度和小尺度分量：大尺度变化采用稀疏网格随机配置处理，小尺度变化则通过扰动技术近似。该方法在尾部展开系数的方差误差上实现了二次收敛，显著优于标准随机配置方法，且计算成本最多为小变化维度数的二次方，当各变量独立时为线性。

ABSTRACT

In this work we consider the problem of approximating the statistics of a given Quantity of Interest (QoI) that depends on the solution of a linear elliptic PDE defined over a random domain parameterized by $N$ random variables. The random domain is split into large and small variations contributions. The large variations are approximated by applying a sparse grid stochastic collocation method. The small variations are approximated with a stochastic collocation-perturbation method. Convergence rates for the variance of the QoI are derived and compared to those obtained in numerical experiments. Our approach significantly reduces the dimensionality of the stochastic problem. The computational cost of this method increases at most quadratically with respect to the number of dimensions of the small variations. Moreover, for the case that the small and large variations are independent the cost increases linearly.

研究动机与目标

• 为解决在具有高维不确定性的随机域上定义的椭圆PDE中计算感兴趣量（QoI）统计量的挑战。
• 通过将大尺度和小尺度域变化分离，降低当随机变量数量较多时随机配置方法的计算成本。
• 开发一种可证明收敛的方法，结合主导变化的稀疏网格配置与剩余小变化的扰动方法。
• 基于有限元法、稀疏网格和扰动近似，推导QoI均值与方差的严格误差估计。
• 证明该方法的收敛速度优于纯随机配置方法，尤其在维度增加时表现更优。

提出的方法

• 随机域由N个随机变量参数化，并分解为大尺度变化（N_s项）与小尺度变化（尾部，N_f项）。
• 大尺度变化采用等向Smolyak稀疏网格与Clenshaw-Curtis求积点，以降低维度与计算成本。
• 小尺度变化通过扰动方法建模，其中QoI的均值与方差校正项通过尾部变量的泰勒展开计算。
• 方差校正项被解析延拓至复域Θ_{β,N_s} ⊂ ℂ^{N_s}，从而支持通过解析延拓进行收敛性分析。
• 误差估计基于域变形梯度的衰减率以及稀疏网格中的插值点数量。
• 该方法进一步扩展至非等向稀疏网格，以在高维情形下获得更高的效率。

实验结果

研究问题

• RQ1 结合随机配置与扰动方法的混合方法是否能在具有随机域的PDE中实现优于纯随机配置的收敛速率？
• RQ2 当分离大尺度与小尺度变化时，计算成本如何随随机变量数量变化？
• RQ3 QoI的方差在尾部展开系数与插值点数量方面的收敛行为如何？
• RQ4 方差校正项是否可解析延拓至复域，以支持严格的收敛性分析？
• RQ5 随着维度增加，该方法在误差衰减与计算效率方面与纯配置方法相比表现如何？

主要发现

• 该混合方法在尾部展开系数之和上实现了二次收敛，优于纯随机配置方法的线性收敛。
• 数值实验表明，该方法具有更快的误差衰减，维度增加时精度提升最高可达23倍。
• 用于方差校正的稀疏网格节点数量与纯配置方法相比几乎可忽略，尤其当扰动误差占主导时。
• 当小尺度与大尺度变化相互独立时，计算成本随小变化维度数呈线性增长。
• 该方法的收敛速率与域变形梯度的衰减率直接相关，衰减越快，收敛性越好。
• 方差校正项可被解析延拓至ℂ^{N_s}中的一个明确定义的区域，支持严格的收敛性分析。