[论文解读] Hybrid Finite Difference with the Physics-informed Neural Network for solving PDE in complex geometries

Zixue Xiang, Wei Peng+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 16, 2022

Model Reduction and Neural Networks被引用 12

一句话总结

该论文提出HFD-PINN，一种结合有限差分法（FDM）与物理信息神经网络（PINN）的混合方法，以在复杂几何形状上更准确、高效地求解PDE。通过在规则区域中用局部FDM替代自动微分（AD），同时在复杂边界处保留AD，并引入使用符号距离函数的HFD-PINN-sdf以避免生成网格，该方法在不规则区域上的预测误差相比标准AD-PINN降低了高达40倍。

ABSTRACT

The physics-informed neural network (PINN) is effective in solving the partial differential equation (PDE) by capturing the physics constraints as a part of the training loss function through the Automatic Differentiation (AD). This study proposes the hybrid finite difference with the physics-informed neural network (HFD-PINN) to fully use the domain knowledge. The main idea is to use the finite difference method (FDM) locally instead of AD in the framework of PINN. In particular, we use AD at complex boundaries and the FDM in other domains. The hybrid learning model shows promising results in experiments. To use the FDM locally in the complex boundary domain and avoid the generation of background mesh, we propose the HFD-PINN-sdf method, which locally uses the finite difference scheme at random points. In addition, the signed distance function is used to avoid the difference scheme from crossing the domain boundary. In this paper, we demonstrate the performance of our proposed methods and compare the results with the different number of collocation points for the Poisson equation, Burgers equation. We also chose several different finite difference schemes, including the compact finite difference method (CDM) and crank-nicolson method (CNM), to verify the robustness of HFD-PINN. We take the heat conduction problem and the heat transfer problem on the irregular domain as examples to demonstrate the efficacy of our framework. In summary, HFD-PINN, especially HFD-PINN-sdf, are more instructive and efficient, significantly when solving PDEs in complex geometries.

研究动机与目标

• 解决标准PINN在求解复杂或不规则几何形状上的PDE时的局限性。
• 减少在自动微分（AD）引入数值不稳定或不准确的区域中对AD的依赖。
• 通过使用无网格有限差分方法，消除复杂区域中对背景网格生成的需求。
• 通过在不同空间区域中混合使用FDM与PINN，提升解的精度与训练稳定性。
• 验证该方法在不同数量的配点及不同类型PDE下的鲁棒性。

提出的方法

• HFD-PINN框架在规则区域中用局部有限差分格式替代自动微分，同时在复杂边界处保留自动微分。
• HFD-PINN-sdf变体使用符号距离函数在随机配点处定义局部差分模板，避免跨越域边界。
• 通过符号距离函数自适应地在每个点应用有限差分模板，以确保在不规则边界附近的准确性。
• 该方法将PDE残差、初始条件和边界条件整合到损失函数中，使用FDM计算残差中的导数。
• 评估了多种有限差分格式（如紧致有限差分法（CDM）和Crank-Nicolson法（CNM））的鲁棒性。
• 该框架采用带有双曲正切激活函数的全连接深度神经网络，通过Adam优化器训练10,000次迭代。

实验结果

研究问题

• RQ1 在规则区域中用有限差分替代自动微分，是否能提升PINN在复杂几何形状上求解PDE的精度？
• RQ2 符号距离函数如何实现无网格有限差分逼近且不发生边界穿越？
• RQ3 不同有限差分格式（如CDM、CNM）对混合HFD-PINN的收敛性和稳定性有何影响？
• RQ4 配点数量如何影响HFD-PINN与HFD-PINN-sdf的性能？
• RQ5 HFD-PINN-sdf能否在高度不规则的域上超越标准AD-PINN求解PDE？

主要发现

• HFD-PINN-sdf在星形域的二维泊松方程上将相对L2预测误差降低至0.013，显著优于AD-PINN。
• 在不规则域测试案例中，HFD-PINN-sdf的预测精度比AD-PINN高出40倍以上。
• HFD-PINN-sdf的损失函数收敛更稳定，如损失演化图所示，边界误差与域内误差均更低。
• 该方法有效处理了尖锐的不规则边界和角落区域，如中心孔与角落孔的热传导与热传递问题中所展示。
• 符号距离函数的使用使得无需背景网格生成即可实现高精度的局部有限差分模板。
• 该框架在不同PDE类型（泊松方程、Burgers方程）及不同配点数量下均表现出鲁棒性。