[论文解读] Hybrid scheme for Brownian semistationary processes

Mikkel Bennedsen, Asger Lunde+1 more|RePEc: Research Papers in Economics|Jul 10, 2015

Stochastic processes and financial applications被引用 4

一句话总结

本文提出了一种用于模拟具有近零处幂律行为核函数的布朗半平稳（BSS）过程的混合离散化方案。通过在零附近采用幂函数近似，其余区域采用阶梯函数近似，该方案在保持与标准黎曼求和方法相同的计算复杂度的同时，显著优于后者，实现了更优的均方误差性能。

ABSTRACT

We introduce a simulation scheme for Brownian semistationary processes, which is based on discretizing the stochastic integral representation of the process in the time domain. We assume that the kernel function of the process is regularly varying at zero. The novel feature of the scheme is to approximate the kernel function by a power function near zero and by a step function elsewhere. The resulting approximation of the process is a combination of Wiener integrals of the power function and a Riemann sum, which is why we call this method a hybrid scheme. Our main theoretical result describes the asymptotics of the mean square error of the hybrid scheme and we observe that the scheme leads to a substantial improvement of accuracy compared to the ordinary forward Riemann-sum scheme, while having the same computational complexity. We exemplify the use of the hybrid scheme by two numerical experiments, where we examine the finite-sample properties of an estimator of the roughness parameter of a Brownian semistationary process and study Monte Carlo option pricing in the rough Bergomi model of Bayer et al. [Quant. Finance 16(6), 887-904, 2016], respectively.

研究动机与目标

• 解决标准黎曼求和离散化在核函数在零附近具有奇异性的BSS过程中的收敛性差的问题。
• 开发一种能更准确捕捉规则变体核函数在零附近陡峭性的模拟方案。
• 在提升BSS过程离散化均方误差（MSE）的同时保持计算效率。
• 实现粗糙波动率模型（如粗糙Bergomi模型）中准确的有限样本推断与蒙特卡洛定价。

提出的方法

• 在BSS过程随机积分表示中的核函数 $ g $ 附近零处使用幂函数近似，在较大滞后处使用阶梯函数近似。
• 将混合方案构造为维纳积分（关于布朗运动）与黎曼和的线性组合。
• 利用正规变体理论严格刻画 $ g(x) \propto x^\alpha $ 在零附近的性质，其中 $ \alpha \in (-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) \setminus \{0\} $。
• 利用包含超几何函数 $ {}_2F_1 $ 的积分恒等式，推导混合方案的均方误差（MSE）渐近表达式。
• 使用波特不等式和慢变函数的性质，建立MSE分量的理论界。
• 通过粗糙波动率估计和粗糙Bergomi模型中期权定价的数值实验验证该方案。

实验结果

研究问题

• RQ1 当核函数在零处具有幂律奇异性时，如何降低BSS过程的离散化误差？
• RQ2 结合幂律与阶梯函数核近似的混合离散化方案的均方误差的渐近行为是什么？
• RQ3 所提出的混合方案是否在不增加计算成本的前提下，实现优于标准前向黎曼求和方案的精度？
• RQ4 该混合方案能否有效应用于粗糙波动率模型中粗糙度参数 $ \alpha $ 的有限样本估计？
• RQ5 在粗糙Bergomi模型下的蒙特卡洛期权定价中，该混合方案表现如何？

主要发现

• 混合方案的均方误差衰减速率为 $ n^{-(2\alpha+1)}L_g(1/n)^2 $，其中 $ L_g $ 为慢变函数，与理论最优速率一致。
• 混合方案的均方误差在渐近意义上主要由零附近幂函数近似的误差主导，该误差显著小于黎曼求和方案的误差。
• 尽管计算复杂度与标准前向黎曼求和方法相同，混合方案在精度上实现了显著提升。
• 数值实验表明，该混合方案能更准确地估计BSS过程中粗糙度参数 $ \alpha $ 的有限样本估计值。
• 在粗糙Bergomi模型下的蒙特卡洛期权定价中，该混合方案降低了偏差并改善了收敛性，优于标准离散化方法。
• 理论分析证实，混合方案的误差在渐近意义上等价于 $ \mathbb{E}[\sigma(0)^2] D_n' $，其中 $ D_n' \sim n^{-(2\alpha+1)}L_g(1/n)^2 $，从而在渐近意义上确立了其最优性。