[论文解读] Hybrid Solver for the Radiative Transport Equation Using Finite Volume and Discontinuous Galerkin

Vincent Heningburg, Cory D. Hauck|arXiv (Cornell University)|Feb 6, 2020

Computational Fluid Dynamics and Aerodynamics参考文献 24被引用 6

一句话总结

该论文提出了一种用于辐射传输方程（RTE）的混合有限体积（FV）/不连续伽辽金（DG）空间离散化方法，将RTE分解为碰撞（散射主导）和未碰撞两部分。碰撞部分采用二阶DG方法求解，以在散射区域保持高精度；未碰撞部分采用FV方法，以降低内存占用和计算成本。该方法在显著减少内存使用量和加快求解速度的同时，保持了与全DG方法相当的精度。

ABSTRACT

We propose a hybrid spatial discretization for the radiative transport equation that combines a second-order discontinuous Galerkin (DG) method and a second-order finite volume (FV) method. The strategy relies on a simple operator splitting that has been used previously to combine different angular discretizations. Unlike standard FV methods with upwind fluxes, the hybrid approach is able to accurately simulate problems in scattering dominated regimes. However, it requires less memory and yields a faster computational time than a uniform DG discretization. In addition, the underlying splitting allows naturally for hybridization in both space and angle. Numerical results are given to demonstrate the efficiency of the hybrid approach in the context of discrete ordinate angular discretizations and Cartesian spatial grids.

研究动机与目标

• 降低不连续伽辽金（DG）方法在辐射传输方程（RTE）中的内存和计算成本，同时在散射主导区域保持精度。
• 提出一种空间混合策略，通过将RTE分解为碰撞和未碰撞两部分，结合有限体积（FV）和DG方法。
• 证明该混合方法能够捕捉渐近扩散极限，确保在高散射区域的物理一致性。
• 实现该混合方法向联合空间与角度离散化的自然扩展，利用现有的角度混合方法。
• 展示与均匀DG离散化相比，该混合方法在内存使用和求解时间方面具有更高的计算效率。

提出的方法

• 将RTE通过算子分裂方法分解为碰撞方程（含散射源）和未碰撞方程（无散射），从而实现分别的空间离散化。
• 碰撞部分采用二阶不连续伽辽金（DG）方法进行离散化，即使在网格分辨率不足的情况下也能准确处理散射。
• 未碰撞部分采用二阶有限体积（FV）方法进行离散化，所需自由度更少，从而降低内存占用。
• FV方法采用一致的二阶重构，并基于角度方向采用迎风偏置的斜率限制，相比标准FV方法提升了精度。
• 混合格式采用笛卡尔网格上的离散 ordinates 角度离散化，可无缝集成现有角度混合方法。
• 通过基准问题和计算规模分析对方法进行数值验证，明确跟踪内存占用和运算次数。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过结合FV和DG的混合空间离散化方法，在保持散射主导辐射传输问题精度的同时降低内存和计算成本？
• RQ2 该混合FV/DG方法是否能正确捕捉高散射渐近区域的扩散极限？
• RQ3 在基准问题中，该混合方法的内存占用和计算时间与均匀DG离散化相比如何？
• RQ4 该混合空间方法是否能自然扩展以包含角度混合化，例如与离散 ordinates 方法结合？
• RQ5 与全DG方法相比，该混合FV/DG方法在内存和求解时间方面的定量性能提升如何？

主要发现

• 混合FV/DG方法的内存占用和计算时间显著低于均匀DG方法，实测内存减少约21.7 MB，总向量存储量更低。
• 该方法保持了二阶精度，并在稳态、渐近的无限散射区域正确捕捉了扩散极限，经数值验证确认。
• 在点源基准问题中，混合方法在精度上与参考DG解一致，同时自由度更少，计算成本更低。
• 计算规模分析表明，该混合方法在网格尺寸和角度数增加时具有良好的可扩展性，运算次数和内存占用可由数组大小和向量数量准确预测。
• 基于方向迎风的FV重构在未碰撞区域相比标准FV方法提升了精度，实现了更低内存占用下的稳定且准确的求解。
• 该混合方法可高效耦合角度混合方法，例如先前工作中提出的离散 ordinates 混合方法，展示了在多维离散化策略中兼容性和模块化的优势。