[论文解读] Hybrid subconvexity for class group $L$-functions and uniform sup norm bounds of Eisenstein series

Asbjørn Christian Nordentoft|arXiv (Cornell University)|Mar 10, 2019

Analytic Number Theory Research参考文献 2被引用 5

一句话总结

本文通过海克公式将虚二次域的类群L函数与震波形式联系起来，建立了其混合次凸界。关键贡献是震波形式的统一上确界范数界：当 $ y \gg 1 $ 时，有 $|E(z,1/2+it)| \ll_{\varepsilon} y^{1/2}(|t|+1)^{1/3+\varepsilon}$，该结果改进了先前结果，并在判别式与谱参数两个方面导出了新的次凸估计。

ABSTRACT

In this paper we prove a hybrid subconvexity bound for class group $L$-functions associated to a quadratic extension $K/\mathbb{Q}$ (real or imaginary). Our proof relies on relating the class group $L$-functions to Eisenstein series evaluated at Heegner points using formulas due to Hecke. The main technical contribution is the following uniform sup norm bound for Eisenstein series $E(z,1/2+it)\ll_\varepsilon y^{1/2} (|t|+1)^{1/3+\varepsilon}, y\gg 1$, extending work of Blomer and Titchmarsh. Finally, we propose a uniform version of the sup norm conjecture for Eisenstein series.

研究动机与目标

• 建立虚二次域类群L函数在判别式 $D$ 与谱参数 $t$ 方面的混合次凸界。
• 推导震波形式 $E(z,1/2+it)$ 的统一上确界范数界，明确控制其对 $y = \Im(z)$ 与 $t$ 的依赖关系。
• 利用海克公式，将震波形式的上确界范数问题与类群L函数的次凸估计相连接。
• 提出震波形式上确界范数猜想的统一版本，将其拓展至凸性界之外。

提出的方法

• 利用海克的经典公式，将类群L函数与在海格纳点处取值的震波形式联系起来：$L_K(s,\chi) = \frac{2^{s+1}\zeta(2s)|D|^{-s/2}}{\omega_K} \sum_{\mathfrak{a}} \chi(\mathfrak{a}) E(z_\mathfrak{a}, s)$。
• 建立震波形式的统一上确界范数界：当 $ y \gg 1 $ 时，有 $|E(z,1/2+it)| \ll_{\varepsilon} y^{1/2}(|t|+1)^{1/3+\varepsilon}$，扩展了布洛默与蒂奇马什的工作。
• 应用指数和方法与二元分解技术，控制由震波形式傅里叶展开产生的振荡和。
• 采用伊万杰维奇–萨尔纳克方法的变体，适配于连续谱情形，推导出谱参数方面 $1/3+\varepsilon$ 的指数。
• 通过最优选择平均参数 $\rho \asymp Q(\mathbf{X})^{1/2}|t|^{-1/3}a^{-1/2}$ 平衡误差项，从而获得最终界。
• 利用统一界推导出 $L_K(1/2+it,\chi)$ 的混合次凸性，改进了此前在 $t$-方面结果，并拓展至 $D$-依赖性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否建立震波形式 $E(z,1/2+it)$ 的统一上确界范数界，且明确控制其对 $y = \Im(z)$ 与 $t$ 的依赖？
• RQ2 此类统一上确界范数界如何用于推导类群L函数 $L_K(s,\chi)$ 的混合次凸估计？
• RQ3 在形如 $|E(z,1/2+it)| \ll_{\varepsilon} y^{\delta}(|t|+1)^{\varepsilon}$ 的界中，最佳可能的指数 $\delta$ 是多少？$\delta = 1/2$ 是否为最优？
• RQ4 能否在 $y$ 与 $t$ 上统一表述震波形式的上确界范数猜想？其对次凸性有何影响？
• RQ5 在 $L_K(1/2+it,\chi)$ 的混合次凸界中，$D$ 与 $t$ 的最优依赖关系为何？

主要发现

• 本文建立了统一上确界范数界：当 $ y \gg 1 $ 时，有 $|E(z,1/2+it)| \ll_{\varepsilon} y^{1/2}(|t|+1)^{1/3+\varepsilon}$，该结果优于先前的 $1/2+\varepsilon$ 凸性界，也优于杨的 $3/8+\varepsilon$ 界。
• 该界意味着类群L函数的混合次凸估计：$L_K(1/2+it,\chi) \ll_{\varepsilon} |D|^{1/4+\varepsilon}(|t|+1)^{1/3+\varepsilon}$，优于 $1/2+\varepsilon$ 的凸性界。
• 证明依赖于指数和方法与二元分解技术的创新应用，以控制由震波形式傅里叶展开产生的振荡和。
• 作者证明，任何形如 $|E(z,1/2+it)| \ll_{\varepsilon} y^{\delta}(|t|+1)^{\varepsilon}$ 的统一界必须满足 $\delta \geq 1/2$，从而证明了 $y^{1/2}$ 因子的最优性。
• 本文提出统一上确界范数猜想：$|E(z,1/2+it)| \ll_{\varepsilon} y^{1/2}(|t|+1)^{\varepsilon}$，若成立，将同时蕴含类群L函数族在 $D$ 与 $t$ 两个方面的 Lindel\