[论文解读] Hybrid system modelling and simulation with Dirac deltas

Cláudio Gomes, Yentl Van Tendeloo+3 more|arXiv (Cornell University)|Apr 23, 2017

Modeling and Simulation Systems参考文献 12被引用 2

一句话总结

本文提出了一套理论基础扎实的框架，用于在因果框图环境中使用狄拉克δ函数的脉冲微分方程模拟混合系统，比较了符号方法与数值方法的性能。结果表明，由于在机器级数值误差存在的情况下具有更高的精度和稳定性，符号方法在处理由脉冲引起的不连续性（如弹跳小球模型）时优于数值方法。

ABSTRACT

For a wide variety of problems, creating detailed continuous models of physical systems is impractical. Hybrid models can abstract away short transient behaviour in order to simplify the study of such systems. For example, when modelling a bouncing ball, the bounce can be abstracted as a discontinuous change of the velocity. Impulsive differential equations can be used to model and simulate hybrid systems such as the bouncing ball. In this approach, the force acted on the ball by the floor is abstracted as an impulse. Current simulators cannot handle such approximations well due to the limitations of machine precision.In this paper, we present two approaches for the simulation of impulses: symbolic and numerical. Our contribution is a theoretically founded description of both approaches in a Causal Block Diagram simulator, and an analysis of the conditions for which a symbolic approach is better than a numerical one.

研究动机与目标

• 解决当前模拟器在处理通过狄拉克δ函数建模的脉冲力时的局限性，这些力存在于混合系统中。
• 在因果框图环境中开发一个理论可靠的模拟框架，用于具有不连续动力学的系统。
• 分析符号模拟在脉冲驱动系统中优于数值模拟的条件。
• 提高模拟具有短时瞬态行为的物理系统（如弹跳小球或开关电路）的精度和可靠性。

提出的方法

• 使用脉冲微分方程对混合系统进行建模，其中力以狄拉克δ函数表示。
• 实现一种因果框图模拟器，通过系统方程的符号操作来处理狄拉克δ输入。
• 应用符号计算以在脉冲事件处精确推导状态转移，避免数值近似误差。
• 使用数值积分进行对比，同时分析机器精度对解的稳定性和精度的影响。
• 定义符号方法避免由有限精度算术引起的数值不稳定的理论条件。
• 在基准混合系统（如弹跳小球）上验证该方法，以比较解的保真度和计算成本。

实验结果

研究问题

• RQ1 在什么条件下，符号模拟在精度和稳定性方面优于数值模拟？
• RQ2 如何有效将狄拉克δ函数集成到因果框图模拟器中，以模拟不连续动力学？
• RQ3 数值方法在模拟具有脉冲的系统时存在哪些理论和实际限制？
• RQ4 机器精度如何影响脉冲微分方程中数值解的可靠性？
• RQ5 符号计算能否消除混合系统中具有突变状态变化的模拟中的数值误差？

主要发现

• 在建模具有狄拉克δ脉冲的系统时，符号模拟比数值模拟提供了更高的精度和更好的稳定性。
• 数值方法由于机器精度限制，在积分脉冲时容易出现不稳定和不准确的问题。
• 符号方法通过在脉冲事件处解析计算状态转移，避免了数值误差。
• 推导出符号方法在脉冲建模中保证优于数值方法的理论条件。
• 该框架能够可靠地模拟混合系统（如弹跳小球），而传统模拟器因脉冲表示问题而失效。