[论文解读] Hybrid systems with memory: Existence and well-posedness of generalized solutions

Jun Liu, Andrew R. Teel|arXiv (Cornell University)|Jul 20, 2015

Stability and Controllability of Differential Equations被引用 3

一句话总结

本文通过在混合时间域上使用广义解，建立了具有记忆的混合系统的理论框架，采用图形收敛拓扑以确保解的存在性与适定性。关键贡献在于证明了此类系统中的预渐近稳定性在扰动下具有鲁棒性，从而实现了对具有时滞的离散与连续时间系统的统一分析。

ABSTRACT

Hybrid systems with memory refer to dynamical systems exhibiting both hybrid and delay phenomena. While systems of this type are frequently encountered in many physical and engineering systems, particularly in control applications, various issues centered around the robustness of hybrid delay systems have not been adequately dealt with. In this paper, we establish some basic results on a framework that allows to study hybrid systems with memory through generalized concepts of solutions. In particular, we develop the basic existence of generalized solutions using regularity conditions on the hybrid data, which are formulated in a phase space of hybrid trajectories equipped with the graphical convergence topology. In contrast with the uniform convergence topology that has been often used, adopting the graphical convergence topology allows us to establish well-posedness of hybrid systems with memory. We then show that, as a consequence of well-posedness, pre-asymptotic stability of well-posed hybrid systems with memory is robust.

研究动机与目标

• 为解决具有记忆的混合系统缺乏鲁棒稳定性分析工具的问题，特别是由于跳跃和时滞引起的不连续性。
• 将先前用于无记忆混合系统的广义解概念扩展至具有函数时滞的系统。
• 建立一个支持系统数据扰动下鲁棒稳定性分析的适定性理论。
• 通过统一的理论框架，统一分析具有时滞的离散时间与连续时间系统。
• 为具有记忆的混合系统的鲁棒稳定性理论提供基础结果，支持控制应用中的未来发展。

提出的方法

• 通过以实时间与跳跃次数为参数的混合时间域，定义基于广义解的混合系统与记忆。
• 在混合轨迹的相空间上采用图形收敛拓扑，替代标准的一致收敛拓扑，以更好地处理解的不连续性。
• 通过混合数据的正则性条件（包括定义在记忆弧空间上的流映射与跳跃映射）建立广义解的存在性。
• 引入混合数据的扰动，并以解的存在性、唯一性及对初值的连续依赖性来定义适定性。
• 利用泛函微分包含与集值分析的工具，在较弱的正则性假设下证明适定性。
• 将适定性结果应用于证明预渐近稳定性的鲁棒性，表明稳定性在系统数据的小扰动下得以保持。

实验结果

研究问题

• RQ1 在时滞与跳跃带来挑战的背景下，如何定义并证明具有记忆的混合系统的广义解的存在性？
• RQ2 何种拓扑框架能够实现对具有记忆的混合系统的鲁棒分析，特别是在标准一致收敛失效的情况下？
• RQ3 在何种条件下，具有记忆的混合系统的解集是适定的，以确保存在性、唯一性与连续依赖性？
• RQ4 具有记忆的混合系统中的预渐近稳定性是否对系统数据的扰动具有鲁棒性？
• RQ5 所提出的框架能否在单一理论设定下统一分析具有时滞的离散时间与连续时间系统？

主要发现

• 在混合数据的弱正则性条件下（包括定义在记忆弧空间上的流集与跳跃集），具有记忆的混合系统的广义解存在。
• 通过图形收敛拓扑建立具有记忆的混合系统的适定性，该拓扑比一致收敛更能捕捉解的结构性质。
• 对于适定的具有记忆的混合系统，其预渐近稳定性对系统数据的扰动具有鲁棒性，确保在小扰动下稳定性得以保持。
• 通过反证法形式化证明了预渐近稳定性的鲁棒性，利用了解序列的图形收敛性以及极限解的稳定性性质。
• 该框架支持将关键稳定性工具（如逆向李雅普诺夫定理与不变性原理）推广至具有记忆的混合系统。
• 结果支持构建具有时滞的混合系统鲁棒稳定性理论的完整体系，统一了具有记忆效应的离散与连续动力学。