[论文解读] Hybrid (V)CSPs and algebraic reductions.

Rustem Takhanov|arXiv (Cornell University)|Jun 22, 2015

Advanced Graph Theory Research参考文献 26被引用 3

一句话总结

本文引入了一种广义的提升语言构造 $\bGamma^{\mathfrak{B}}$，以有限代数 $\mathfrak{B}$ 为索引，将固定模板 CSP 简化为更简单的实例。在自然条件下，证明了 $\textsc{CSP}(\bGamma)$ 对 $\textsc{CSP}(\bGamma^{\mathfrak{B}})$ 的多项式时间图灵约化，关联了多态性并为解决 Feder-Vardi 二分猜想提供了新工具。

ABSTRACT

Constraint Satisfaction Problem (CSP) can be stated as computing a homomorphism $\mbox{$\bR ightarrow \bGamma$}$ between two relational structures, e.g. between two directed graphs. Recently, the {\em hybrid} setting, where both sides are restricted simultaneously, attracted some attention. It assumes that the right side structure $\bGamma$ is fixed and $\bR$ belongs to a class of relational structures $\mathcal{H}$ (called a {\em structural restriction}) that is, additionally, {\em closed under inverse homomorphisms}. The key tool that connects hybrid CSPs with fixed-template CSPs is a construction called a lifted language, namely a multi-sorted language $\bGamma_{\bR}$ that can be constructed from an input $\bR$. The tractability of a language $\bGamma_{\bR}$ for any input $\bR\in\mathcal{H}$ is a necessary condition for tractability of the hybrid problem. First we investigate the case when the last property is not only necessary, but also is sufficient. It turns out that in the latter case, if Bulatov-Jeavons-Krokhin characterization of tractable constraint languages is correct, a structural restriction $\mathcal{H}$ is tractable if and only if it consists of structures that can be homomorphically mapped to some fixed finite relational structure $\bGamma'$ (that depends only on $\bGamma$). In the second part we generalize the construction of $\bGamma'$ and introduce a finite structure $\bGamma^{\mathfrak{B}}$, indexed by some set of finite algebras $\mathfrak{B}$. We prove that under some natural conditions on $\mathfrak{B}$, $ extsc{CSP}(\bGamma)$ is polynomial-time Turing reducible to $ extsc{CSP}(\bGamma^{\mathfrak{B}})$ and some polymorphisms of $\bGamma$ have analogs in $\pol(\bGamma^{\mathfrak{B}})$. This construction introduce a new set of algorithms for fixed-template CSPs and we suggest it as a tool to approach Feder-Vardi dichotomy conjecture.

研究动机与目标

• 研究在结构限制下，提升语言 $\bGamma_{\bR}$ 的可 tractability 何时既是必要条件也是充分条件，以实现混合 CSP 的可 tractability。
• 将有限结构 $\bGamma'$ 的构造推广至由有限代数 $\mathfrak{B}$ 索引的更广泛结构类 $\bGamma^{\mathfrak{B}}$。
• 在 $\mathfrak{B}$ 的自然条件下，建立 $\textsc{CSP}(\bGamma)$ 到 $\textsc{CSP}(\bGamma^{\mathfrak{B}})$ 的多项式时间图灵约化。
• 证明 $\bGamma$ 的多态性在 $\pol(\bGamma^{\mathfrak{B}})$ 中具有对应形式，保持结构与代数性质。
• 提出 $\bGamma^{\mathfrak{B}}$ 作为推进 CSP 理论中 Feder-Vardi 二分猜想的新算法工具。

提出的方法

• 从一个在结构限制 $\mathcal{H}$ 中且对逆同态封闭的输入结构 $\bR$ 构造一个多-sort 提升语言 $\bGamma_{\bR}$。
• 引入一个由有限代数集合 $\mathfrak{B}$ 索引的有限关系结构 $\bGamma^{\mathfrak{B}}$，推广先前的 $\bGamma'$ 构造。
• 在 $\mathfrak{B}$ 的自然条件下（如对某些项运算的封闭性），建立 $\textsc{CSP}(\bGamma)$ 到 $\textsc{CSP}(\bGamma^{\mathfrak{B}})$ 的多项式时间图灵约化。
• 证明 $\bGamma$ 的多态性对应于 $\pol(\bGamma^{\mathfrak{B}})$ 中的多态性，保持代数不变量。
• 利用提升结构 $\bGamma^{\mathfrak{B}}$ 模拟并约简复杂 CSP 实例为更简单的实例，实现算法探索。
• 借助 Bulatov-Jeavons-Krokhin 特征化，将结构限制 $\mathcal{H}$ 与映射到固定 $\bGamma'$ 的同态映射联系起来，假设该特征化正确。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，提升语言 $\bGamma_{\bR}$ 的可 tractability 既是混合 CSP 可 tractability 的必要条件也是充分条件？
• RQ2 能否将 $\bGamma'$ 的构造从有限关系结构推广到包含通过有限代数 $\mathfrak{B}$ 索引的更广结构类？
• RQ3 对于适当选择的 $\mathfrak{B}$，$\textsc{CSP}(\bGamma)$ 是否是多项式时间图灵约化到 $\textsc{CSP}(\bGamma^{\mathfrak{B}})$？
• RQ4 $\bGamma$ 的多态性是否在 $\pol(\bGamma^{\mathfrak{B}})$ 中具有可识别的对应形式，以及这种对应如何保持代数结构？
• RQ5 $\bGamma^{\mathfrak{B}}$ 的构造能否作为解决 Feder-Vardi 二分猜想的可行路径？

主要发现

• 在假设 Bulatov-Jeavons-Krokhin 特征化正确的情况下，混合 CSP 设置中结构限制 $\mathcal{H}$ 的可 tractability 等价于 $\mathcal{H}$ 中所有结构都能同态映射到一个固定的有限关系结构 $\bGamma'$。
• $\bGamma^{\mathfrak{B}}$ 的构造通过将其索引于有限代数集合 $\mathfrak{B}$，推广了 $\bGamma'$，从而支持更广泛的代数操作。
• 在 $\mathfrak{B}$ 的自然条件下，$\textsc{CSP}(\bGamma)$ 可多项式时间图灵约化为 $\textsc{CSP}(\bGamma^{\mathfrak{B}})$，从而实现复杂 CSP 的算法约化。
• $\bGamma$ 的多态性在 $\pol(\bGamma^{\mathfrak{B}})$ 中具有对应形式，保持了关键代数性质。
• $\bGamma^{\mathfrak{B}}$ 的构造为探索固定模板 CSP 提供了新框架，可能作为推进 Feder-Vardi 二分猜想的工具。
• 提升语言 $\bGamma_{\bR}$ 仍是混合 CSP 可 tractability 的必要条件，本文还确定了其成为充分条件的条件。