[论文解读] Hybrid zonotopes: a new set representation for reachability analysis of mixed logical dynamical systems

Trevor J. Bird, Herschel C. Pangborn+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 28, 2021

Formal Methods in Verification被引用 4

一句话总结

本文提出了一种新型非凸集合表示方法——混合zonotope，可紧凑地编码离散时间线性混合系统（建模为混合逻辑动态（MLD）系统）的精确可达集。通过结合连续与二进制zonotope因子，该方法仅以线性增长的表示复杂度，即能表示 $2^N$ 个受约束zonotope的并集，从而实现无指数爆炸的精确可达性分析。

ABSTRACT

This article presents a new set representation named the hybrid zonotope that is equivalent to the union of $2^N$ constrained zonotopes -- convex polytopes -- through the addition of $N$ binary zonotope factors. The major contribution of this manuscript is a closed-form solution for exact forward reachable sets of discrete-time, linear hybrid systems modeled as mixed logical dynamical systems. The proposed approach captures the worst-case exponential growth in the number of convex sets required to represent the nonconvex reachable set while exhibiting only linear growth in the complexity of the hybrid zonotope set representation. Redundancy removal techniques are provided that leverage binary trees to store the combinations of binary factors of the hybrid zonotope that map to nonempty convex subsets. Numerical examples show the hybrid zonotope's ability to compactly represent nonconvex reachable sets with an exponential number of features. Furthermore, the hybrid zonotope is shown to be closed under linear mappings, Minkowski sums, generalized intersections, and halfspace intersections.

研究动机与目标

• 解决混合系统可达性分析中凸集合表示的指数增长问题。
• 开发一种非凸集合表示方法，精确捕捉线性MLD系统的可达集，避免过度近似。
• 通过减少非凸凸集并集表示中的冗余，实现可达集的高效计算。
• 确保在关键集合运算（如线性映射、闵可夫斯基和、交集）下保持封闭性，以支持集合理论分析。
• 提供一种可扩展且精确的替代方法，以克服基于过度近似方法所存在的保守性与计算不可行性问题。

提出的方法

• 提出混合zonotope作为通过 $N$ 个二进制zonotope因子构成的 $2^N$ 个受约束zonotope的并集，实现对非凸可达集的精确表示。
• 基于混合zonotope，推导出离散时间MLD系统前向可达集的闭式解，隐式嵌入了守卫交叉、动态切换与重置映射。
• 利用二叉树结构与混合整数规划，识别并移除映射为空集的二进制因子组合，以消除冗余。
• 采用混合整数线性规划（MILP）公式高效计算支撑函数并检测半空间交集。
• 通过混合zonotope结构的代数性质，确保其在线性映射、闵可夫斯基和、广义交集及半空间交集下的封闭性。
• 使用YALMIP实现该方法，并与两种基线方法进行比较：M1（通过受约束zonotope实现的指数增长）和M2（基于MILP的紧凑表示）。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否开发一种非凸集合表示方法，使线性混合系统的可达集仅以线性增长的表示复杂度实现精确捕捉？
• RQ2 如何在不使凸集数量爆炸的前提下，编码由守卫交叉与模式切换引起的可达集指数分支？
• RQ3 在保持精确性与计算效率的前提下，混合zonotope表示中的冗余可被去除到何种程度？
• RQ4 在基准问题上，混合zonotope在计算时间、表示规模与可扩展性方面相较于现有方法表现如何？
• RQ5 混合zonotope能否以计算高效且精确的方式支持Minkowski和与半空间交集等关键集合运算？

主要发现

• 混合zonotope表示在仅线性增长表示复杂度的前提下，实现了MLD系统可达集的精确计算，与传统方法可能产生的最坏情况指数增长形成鲜明对比。
• 在案例 $(12,4)$ 中，M1方法在20小时后仍未完成，因指数爆炸而失败，而混合zonotope方法（HCG-r）在1秒内完成，且开销极低。
• 经冗余去除的简化混合zonotope（HCG-r）在支撑函数评估与半空间交集检测中实现了最低的平均计算时间，优于M1与M2。
• 在案例 $(12,4)$ 中，使用冗余去除的混合zonotope方法（HCG-r）仅需1312个连续生成元与1604个二进制变量，而M1方法则需超过170万个凸集。
• 混合zonotope在线性映射、闵可夫斯基和、广义交集及半空间交集下保持封闭性，使其可广泛应用于集合理论分析流程。
• 数值结果表明，混合zonotope以线性数量的参数，紧凑地表示了具有指数级特征的非凸可达集，显著提升了可扩展性与效率。