[论文解读] Hydrodynamic behavior of one dimensional subdiffusive exclusion processes with random conductances

Alessandra Faggionato, M. Jara+1 more|ArXiv.org|Sep 3, 2007

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 11被引用 21

一句话总结

本文研究了一维排除过程，其跳跃速率为随机且重尾，来自 $\alpha$-稳定分布的吸引域（$0 < \alpha < 1$）。在超扩散时间标度 $N^{1+1/\alpha}L(N)$ 下，利用 quenched 水动力学极限，证明了密度分布演化遵循由双侧 $\alpha$-稳定子过程 $W$ 驱动的随机偏微分方程，其生成元为 $\mathfrak{L}_W = \frac{d}{du}\frac{d}{dW}$。随机环境中的噪声在水动力学极限中完全保留，与经典扩散情形形成对比。

ABSTRACT

Consider a system of particles performing nearest neighbor random walks on the lattice $\ZZ$ under hard--core interaction. The rate for a jump over a given bond is direction--independent and the inverse of the jump rates are i.i.d. random variables belonging to the domain of attraction of an $\a$--stable law, $0

研究动机与目标

• 理解跳跃速率为重尾且空间异质的一维排除过程的水动力学行为。
• 在强无序条件下建立 quenched 水动力学极限，其中逆跳跃速率为独立同分布且位于 $\alpha$-稳定分布的吸引域内（$0 < \alpha < 1$）。
• 证明极限宏观动力学由随机微分算子 $\mathfrak{L}_W = \frac{d}{du}\frac{d}{dW}$ 控制，其中 $W$ 为双侧 $\alpha$-稳定子过程。
• 证明在该亚扩散、随机环境中，标记粒子满足大数定律。

提出的方法

• 基于双侧 $\alpha$-稳定子过程 $W$，构建原始独立同分布环境与数组 $\{\xi_{N,x}\}$ 之间的耦合，确保重标称局部时间和的几乎必然收敛。
• 利用重标称随机游动在随机环境中的几乎必然不变原理，将分布收敛替换为几乎必然收敛。
• 通过证明经验密度分布收敛于随机 PDE $\partial_t \rho = \mathfrak{L}_W \rho$，在时间标度 $N^{1+1/\alpha}L(N)$ 下建立 quenched 水动力学极限。
• 将导数 $d/dW$ 定义为关于递增过程 $W$ 的 Stieltjes 型导数，并用其刻画生成元 $\mathfrak{L}_W$。
• 证明标记粒子的位置满足一个涉及导数 $d\rho_t/dW$ 的微分方程，其时间导数取决于该导数的符号与大小。
• 利用控制收敛定理与差商的 $L^1$ 收敛性，验证标记粒子渐近速度推导的合理性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当跳跃速率为重尾且空间独立同分布时，一维排除过程的水动力学极限行为如何？
• RQ2 当逆跳跃速率位于 $\alpha$-稳定分布的吸引域内（$0 < \alpha < 1$）时，能否建立 quenched 水动力学极限？
• RQ3 极限宏观方程的形式为何？随机环境如何影响极限过程的生成元？
• RQ4 标记粒子的位置在长时间极限下如何演化？其渐近速度由何种微分方程控制？
• RQ5 随机环境中的噪声是否在水动力学极限中完全保留，还是被平均掉？

主要发现

• 在超扩散时间标度 $N^{1+1/\alpha}L(N)$ 下，经验密度分布以几乎必然方式（quenched）收敛于随机 PDE $\partial_t \rho = \mathfrak{L}_W \rho$ 的解，其中 $\mathfrak{L}_W = \frac{d}{du}\frac{d}{dW}$。
• 极限过程 $\{Y_t\}$ 是一个连续的、自相似的马尔可夫过程，但由于随机环境 $W$ 的影响，其并非强马尔可夫过程，也不是 Feller 过程。
• 生成元 $\mathfrak{L}_W$ 显式依赖于 $\alpha$-稳定子过程 $W$ 的实现，因此无序的噪声在水动力学极限中完全保留。
• 标记粒子的位置 $u_W(t)$ 满足一个涉及导数 $d\rho_t/dW$ 的微分方程，其右导数与左导数由该导数在粒子位置处的符号决定。
• 标记粒子的渐近速度由 $\rho_t$ 的局部行为及其关于 $W$ 的导数决定，且对 $t > 0$，过程 $u_W(t)$ 在两侧均可微。
• 差商 $h^{-1}(P_h\rho_t - \rho_t)$ 对 $\mathfrak{L}_W\rho_t$ 的收敛性在 $L^1(\mathbb{R})$ 中成立，确保了生成元的良定义性及动力学的一致性。