[论文解读] Hydrodynamic gauge fixing and higher order hydrodynamic expansion

Jacopo De Nardis, Benjamin Doyon|arXiv (Cornell University)|Nov 29, 2022

Black Holes and Theoretical Physics被引用 4

一句话总结

本文首次推导出一维多体系统水动力展开中的三阶流体动力学项——色散项与非线性梯度修正项。它建立了更高阶系数的Kubo型公式，并提出了一种新颖的n阶对称规范固定程序，证明了其在确保一致性、熵产生以及量子可积模型中水动力描述有效性的关键作用。

ABSTRACT

Hydrodynamics is a powerful emergent theory for the large-scale behaviours in many-body systems, quantum or classical. It is a gradient series expansion, where different orders of spatial derivatives provide an effective description on different length scales. We here report the first general derivation of third-order, or "dispersive", terms in the hydrodynamic expansion. We obtain fully general Kubo-like expressions for the associated hydrodynamic coefficients, and we determine their expressions in quantum integrable models, introducing in this way purely quantum higher-order terms into generalised hydrodynamics. We emphasise the importance of hydrodynamic gauge fixing at diffusive order, where we claim that it is parity-time-reversal, and not time-reversal, invariance that is at the source of Einstein's relation, Onsager's reciprocal relations, the Kubo formula and entropy production. At higher hydrodynamic orders we introduce a more general, n-th order "symmetric" gauge, which we show implies the validity of the higher-order hydrodynamic description.

研究动机与目标

• 推导一维多体系统梯度展开中三阶流体动力学系数的一般表达式。
• 在扩散及更高阶建立一致的规范固定程序，解决守恒密度定义中的歧义。
• 证明在量子可积模型中，高阶流体动力学要求采用新的n阶对称规范以确保一致性和熵产生。
• 提供色散项（三阶）与非线性项（混合二阶）流体动力学系数的显式Kubo型公式。
• 通过自由费米子与相互作用可积模型中的精确计算，展示广义流体动力学中纯粹量子高阶项的出现。

提出的方法

• 将流体动力学展开推导至空间与时间梯度的三阶，包含色散项与非线性项。
• 引入广义的n阶对称规范固定程序，以消除流体动力学系数中未物理的规范歧义。
• 利用Kubo-Mori-Bogoliubov内积与KMS边界条件，计算守恒密度与流的关联函数。
• 在可积模型中应用矩阵元技术，显式计算流体动力学系数，特别针对自由费米子与硬棒模型。
• 采用质心算符X系统消除矩阵元中动量差依赖，确保高阶下的规范不变性。
• 证明熵产生仅在对称规范下非负，从而将其与基本热力学原理联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 在一维多体系统的梯度展开中，三阶流体动力学系数的一般表达式是什么？
• RQ2 在扩散及更高阶流体动力学中，守恒密度的规范歧义如何一致地解决？
• RQ3 n阶对称规范在确保高阶流体动力学理论的有效性与一致性中起什么作用？
• RQ4 在可积模型的广义流体动力学中，纯粹量子高阶项如何出现？
• RQ5 对称规范与熵产生、昂萨格倒易关系等基本原理之间有何联系？

主要发现

• 本文首次推导出三阶流体动力学系数的通用Kubo型公式，具体针对色散项 $\mathcal{W}^{(2)}{}_{i}^{~{}j}$ 与非线性项 $\mathcal{W}^{(1,1)}{}_{i}^{~{}jk}$，其表达式基于时空积分关联函数。
• 在二阶时采用对称规范可使矩阵元仅依赖于平均动量，从而消除未物理的动量差依赖，精度达 $O((k(p)-k(h))^3)$。
• 在自由费米子中，流体动力学系数 $\mathfrak{L}^{(2)}$ 被显式计算为 $\int_{\theta}\rho(\theta)(1-n(\theta))\mathsf{h}^{\rm dr}_{i}(\theta)\mathsf{h}^{\rm dr}_{k}(\theta)\frac{k^{\prime}(\theta)\varepsilon^{\prime\prime\prime}(\theta)-k^{\prime\prime\prime}(\theta)\varepsilon^{\prime}(\theta)}{12(k^{\prime}(\theta))^{4}}$，明确显示出量子修正。
• 在所有阶次下采用对称规范可确保熵产生非负，这对热力学一致性与不可逆性至关重要。
• 证明扩散阶的规范固定程序源于时空反演（PT）对称性，而非时间反演对称性，从而阐明了爱因斯坦关系与昂萨格倒易关系的起源。
• 在相互作用的量子可积模型中，通过矩阵元技术推导出流体动力学系数，证实了广义流体动力学中纯粹量子高阶项的出现。