[论文解读] Hydrodynamic Theory of the Connected Spectral Form Factor

Michael Winer, Brian Swingle|arXiv (Cornell University)|Dec 2, 2020

Quantum chaos and dynamical systems被引用 4

一句话总结

该论文为量子混沌系统中连通谱形因子（SFF）发展了一套流体动力学有效场论，表明在早期时间，缓慢的流体动力学模式——尤其是能量扩散——控制着对随机矩阵理论（RMT）斜坡的修正。该框架推导出具有近似守恒区段的系统中SFF的一般公式，将涨落流体动力学适配至SFF所需的周期性时间轮廓，并预测了陶勒斯时间（Thouless time）由流体动力学弛豫决定，且对哈密顿系统和弗洛凯系统均给出了明确结果。

ABSTRACT

One manifestation of quantum chaos is a random-matrix-like fine-grained energy spectrum. Prior to the inverse level spacing time, random matrix theory predicts a `ramp' of increasing variance in the connected part of the spectral form factor. However, in realistic quantum chaotic systems, the finite time dynamics of the spectral form factor is much richer, with the pure random matrix ramp appearing only at sufficiently late time. In this article, we present a hydrodynamic theory of the connected spectral form factor prior to the inverse level spacing time. We start from a discussion of exact symmetries and spectral stretching and folding. We then derive a general formula for the spectral form factor of a system with almost-conserved sectors in terms of return probabilities and spectral form factors within each sector. Next we argue that the theory of fluctuating hydrodynamics can be adapted from the usual Schwinger-Keldysh contour to the periodic time setting needed for the spectral form factor, and we show explicitly that the general formula is recovered in the case of energy diffusion. We also initiate a study of interaction effects in this modified hydrodynamic framework and show how the Thouless time, defined as the time required for the spectral form factor to approach the pure random matrix result, is controlled by the slow hydrodynamics modes.

研究动机与目标

• 建立一个超越随机矩阵理论的量子混沌系统谱相关性的系统性有效场论。
• 识别缓慢的流体动力学模式（尤其是能量扩散）如何在早期时间控制谱形因子中对纯随机矩阵斜坡的偏离。
• 将流体动力学框架扩展至弗洛凯系统，并在弱驱动下推导哈密顿SFF与弗洛凯SFF行为之间的过渡。
• 提供一个统一的描述，将陶勒斯时间视为SFF趋近RMT结果的时间尺度，其根源在于流体动力学弛豫。

提出的方法

• 利用返回概率和区段特异性SFF，推导具有近似守恒区段的系统中连通谱形因子的一般公式。
• 将涨落流体动力学的形式体系适配至SFF所需的周期性时间轮廓，采用类似施温格-凯尔迪什的方法。
• 通过将SFF映射为带有涨落力的随机偏微分方程，证明在能量扩散情况下，一般公式可被恢复，且其作用量关于共轭场为线性，从而确认了流体动力学推导的正确性。
• 应用流体动力学框架计算相互作用对SFF的修正，并将陶勒斯时间识别为流体动力学模式的弛豫时间。
• 通过在弱驱动极限下推导从哈密顿斜坡到弗洛凯斜坡的过渡公式，将形式体系扩展至弗洛凯系统。
• 使用谱展开和滤波技术，分析在非线性谱变形（包括折叠和拉伸）下斜坡系数的鲁棒性。

实验结果

研究问题

• RQ1 流体动力学模式（如能量扩散）如何影响量子混沌系统中连通谱形因子的早期时间行为？
• RQ2 陶勒斯时间在SFF趋近随机矩阵理论斜坡过程中的作用是什么？它如何由流体动力学弛豫决定？
• RQ3 弗洛凯系统的谱形因子与哈密顿系统的谱形因子有何不同？在弱周期驱动下，其过渡行为如何？
• RQ4 谱相关性（尤其是SFF斜坡）在非线性谱变换（如拉伸或折叠）下在多大程度上保持不变？
• RQ5 基于流体动力学的有效场论能否同时再现晚期时间的随机矩阵斜坡和由物理哈密顿结构引起的早期时间修正？

主要发现

• 该流体动力学理论再现了具有近似守恒区段的系统中连通谱形因子的一般公式，将其与返回概率和区段特异性SFF联系起来。
• 陶勒斯时间（即SFF趋近RMT结果的时间）由缓慢流体动力学模式的弛豫时间决定，特别是能量扩散。
• 在能量扩散情况下，SFF由带有涨落力的随机PDE导出，其结果作用量关于共轭场为线性，从而确认了流体动力学推导的正确性。
• 对于弗洛凯系统，论文在弱驱动极限下推导出从哈密顿斜坡到弗洛凯斜坡的过渡公式，表明由于周期性驱动，斜坡系数不同。
• 非奇异的谱折叠和拉伸在变换平滑且非退化时，可保持SFF的斜坡系数不变，斜坡系数在多值区域按分支数缩放。
• 数值结果验证了在拉伸和折叠谱中斜坡系数的分析预测，包括存在多个本征值分支的情况，如 $f_{\text{stretch}}(E) = E - E^3$。