[论文解读] Hyers-Ulam stability of higher-order Cauchy-Euler dynamic equations on time scales

Douglas R. Anderson|arXiv (Cornell University)|Dec 17, 2012

Functional Equations Stability Results参考文献 24被引用 4

一句话总结

本文通过使用递归分解方法将高阶非齐次柯西-欧拉动态方程约化为一阶动态方程组，建立了其在任意时间尺度上的Hyers-Ulam稳定性。关键结果表明，任意近似解与精确解之间的误差始终有界，为 $ K\varepsilon $，其中 $ K $ 依赖于方程的系数和时间尺度参数。

ABSTRACT

We establish the stability of higher-order linear non-homogeneous Cauchy-Euler dynamic equations on time scales in the sense of Hyers and Ulam. That is, if an approximate solution of a higher-order Cauchy-Euler equation exists, then there exists an exact solution to that dynamic equation that is close to the approximate one.

研究动机与目标

• 将时间尺度上二阶柯西-欧拉方程的Hyers-Ulam稳定性结果推广至一般 $ n $ 阶情形。
• 建立近似解与精确解在一致意义下接近的充分条件，适用于高阶非齐次柯西-欧拉动态方程。
• 提供一种从近似解出发的显式迭代构造方法，确保误差传播有界。
• 通过利用初等对称多项式结构与时间尺度动态算子，推广先前关于二阶方程的研究结果。
• 在任意孤立与稠密时间尺度（包括 $ \mathbb{R} $、$ \mathbb{Z} $ 和量子域）上验证稳定性框架的有效性。

提出的方法

• 利用系数 $ \alpha_k $ 通过初等对称多项式导出的特征根 $ \lambda_1, \dots, \lambda_n $，将 $ n $ 阶柯西-欧拉动态方程分解为 $ n $ 个一阶动态方程组。
• 定义递归函数序列 $ g_k $，使得 $ g_k = \varphi \cdot (g_{k-1})^\Delta - \lambda_{n-k+1} g_{k-1} $，逐步降低方程阶数。
• 对链中每个一阶方程应用 Anderson 等人 [2, 引理 2.3] 中已知的稳定性结果，确保每个方程的近似解与精确解一致接近。
• 在时间尺度上使用指数 $ \Delta $-微积分，特别是 $ \lambda $-指数函数 $ e_\lambda(t,s) $，从近似函数 $ x $ 递归构造精确解。
• 建立精确解 $ u $ 关于 $ x $ 的递归公式，初始条件在任意点 $ \tau_k \in [a, \sigma^k(b)]_{\mathbb{T}} $ 处选取，确保 $ u $ 可 $ \Delta $-微分至 $ n $ 阶。
• 推导出在 $ [a, \sigma^n(b)]_{\mathbb{T}} $ 上的统一误差界 $ |x(t) - u(t)| \leq K\varepsilon $，其中 $ K = \prod_{j=1}^n L_j / A^n $，且 $ A = \inf_{t \in [a,b]_{\mathbb{T}}} |\varphi(t)| > 0 $。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，时间尺度上的高阶柯西-欧拉动态方程具有Hyers-Ulam稳定性？
• RQ2 能否将时间尺度上二阶柯西-欧拉方程的Hyers-Ulam稳定性推广至任意时间尺度上的 $ n $ 阶方程？
• RQ3 如何系统性地校正非齐次 $ n $ 阶柯西-欧拉动态方程的近似解，以在有界误差内获得精确解？
• RQ4 特征根 $ \lambda_k $ 与函数 $ \varphi(t) $ 在确保稳定性与误差控制中起什么作用？
• RQ5 是否存在一种构造性方法，可从近似解中恢复精确解，并给出显式误差界，适用于时间尺度上的高阶动态方程？

主要发现

• 若 $ \varphi(t) \neq 0 $ 且特征根满足一定的正则性条件，则 $ n $ 阶非齐次柯西-欧拉动态方程 $ \sum_{k=0}^n \alpha_k M_k y(t) = f(t) $ 在 $ [a,b]_{\mathbb{T}} $ 上具有Hyers-Ulam稳定性。
• 对任意满足 $ \left| \sum_{k=0}^n \alpha_k M_k x(t) - f(t) \right| \leq \varepsilon $ 的函数 $ x \in C^{\Delta^n}_{rd}[a,b]_{\mathbb{T}} $，存在精确解 $ u $，使得在 $ [a, \sigma^n(b)]_{\mathbb{T}} $ 上有 $ |x(t) - u(t)| \leq K\varepsilon $，其中 $ K = \prod_{j=1}^n L_j / A^n $。
• 精确解 $ u $ 通过公式 $ u(t) = e_{\lambda_1/\varphi}(t, \tau_n)x(\tau_n) + \int_{\tau_n}^t e_{\lambda_1/\varphi}(t,\sigma(s)) \frac{w_{n-1}(s)}{\varphi(s)} \Delta s $ 递归构造，其中 $ w_k $ 依递归方式定义。
• 稳定性常数 $ K $ 依赖于时间尺度的颗粒度与系数 $ \lambda_k $，且 $ A = \inf |\varphi(t)| > 0 $ 确保误差乘子有界。
• 该方法通过将方程递归约化为一阶系统，结合时间尺度指数函数与文献 [2] 中的稳定性引理，推广了先前关于二阶方程的研究结果。
• 该结果对实特征根与复共轭特征根均成立，扩展了其在时间尺度上振荡与阻尼动态系统中的适用性。