[论文解读] Hyperball packings related to octahedron and cube tilings in hyperbolic space

Jenő Szirmai|arXiv (Cornell University)|Mar 13, 2018

Quasicrystal Structures and Properties参考文献 14被引用 8

一句话总结

本文研究了在3D双曲空间中由Coxeter单纯形群{p,3,4}和{p,4,3}生成的截半正八面体和立方体密铺所导出的全等与非全等等双曲球体堆积。利用射影几何与截断单纯形胞腔中的密度优化，识别出在截断立方体密铺{4,3,7}中密度≈0.86145的最密局部最优堆积，超过Böröczky-Florian对球体和极限球体的上界，尽管该构型无法全局扩展。

ABSTRACT

In this paper we study congruent and non-congruent hyperball (hypersphere) packings of the truncated regular octahedron and cube tilings. These are derived from the Coxeter simplex tilings $\{p,3,4\}$ $(7\le p \in \mathbb{N})$ and $\{p,4,3\}$ $(5\le p \in \mathbb{N})$ in $3$-dimensional hyperbolic space $\mathbb{H}^3$. We determine the densest hyperball packing arrangement and its density with congruent and non-congruent hyperballs related to the above tilings in $\mathbb{H}^3$. We prove that the locally densest congruent or non-congruent hyperball configuration belongs to the regular truncated cube with density $\approx 0.86145$. This is larger than the Böröczky-Florian density upper bound for balls and horoballs. Our locally optimal non-congruent hyperball packing configuration cannot be extended to the entire hyperbolic space $\mathbb{H}^3$, but we determine the extendable densest non-congruent hyperball packing arrangement related to a regular cube tiling with density $\approx 0.84931$.

研究动机与目标

• 确定使用截半正八面体和立方体密铺在3D双曲空间中实现的最密双曲球体堆积构型。
• 分析这些密铺中全等与非全等等双曲球体堆积。
• 计算并比较最大可实现密度，特别是与Böröczky-Florian上界相比。
• 确定最密局部构型是否可扩展至整个双曲空间H³。
• 为与正则截断立方体和八面体密铺相关的双曲球体堆积建立密度上界。

提出的方法

• 在洛伦兹空间E1,3中使用双曲3维空间H³的射影模型，其双线性型符号为(1,3)。
• 应用扩展的Coxeter群{4,3,7}生成正则立方体密铺及相应的截断立方体胞腔。
• 采用分解算法将H³划分为截断单纯形（如截断立方体）以进行密度分析。
• 根据双曲球体中心相对于截断胞腔几何的位置，定义并计算双曲球体密度δ₁、δ₂、δ₃。
• 通过解析与数值方法，在连续参数（如p ∈ (6,7)或整数p ≥7）上优化密度函数。
• 将结果与球体和极限球体堆积的Böröczky-Florian上界（≈0.85328）进行比较。

实验结果

研究问题

• RQ1 在H³中的截断立方体与八面体密铺中，全等或非全等等双曲球体堆积可实现的最大密度是多少？
• RQ2 最密的局部双曲球体堆积构型能否扩展至填满整个双曲3维空间H³？
• RQ3 双曲球体堆积的密度与球体和极限球体的Böröczky-Florian上界相比如何？
• RQ4 哪些最优参数（如p、中心位置）可使截断单纯形胞腔中的双曲球体堆积密度最大化？
• RQ5 在正则立方体密铺中，最密可扩展的非全等等双曲球体堆积的密度是多少？

主要发现

• 在截断立方体密铺{4,3,7}中，非全等等双曲球体堆积的最密局部最优构型达到约0.86145的密度，超过Böröczky-Florian上界≈0.85328。
• 该最优构型出现在参数p≈6.26384（位于非整数区间6 < p < 7）时，双曲球体中心位于x = s(p) − h(p) ≈ 0.36563处。
• 在扩展Coxeter群{4,3,7}下的正则立方体密铺中，最密可扩展的非全等等双曲球体堆积的最大密度约为0.84931。
• 对于截断八面体密铺{p,3,4}（p ≥7），最密堆积密度同样约为0.86145，且在p=7时实现。
• 尽管超过经典上界，密度≈0.86145的局部最优双曲球体构型无法扩展至整个H³。
• 全等等双曲球体的最大密度低于非全等等双曲球体，后者因几何灵活性而实现更高的局部密度。