[论文解读] Hyperbolic complex numbers in two dimensions

Silviu Olariu|ArXiv.org|Aug 16, 2000

Algebraic and Geometric Analysis参考文献 6被引用 8

一句话总结

本文引入了一个二维的交换双曲复数系统，定义为 $ u = x + \bar{\rho}y $，其中 $ \bar{\rho}^2 = 1 $，支持指数形式与三角形式、解析函数理论以及路径无关的围线积分。主要贡献在于构建了一套与复分析类比的双曲复变函数理论，其中解析函数满足波动型的柯西-黎曼关系，多项式可分解为一次或二次因式，但分解不唯一。

ABSTRACT

A system of commutative hyperbolic complex numbers in 2 dimensions is studied in this paper. Exponential and trigonometric forms are obtained for these hyperbolic twocomplex numbers. Expressions are given for the elementary functions of hyperbolic twocomplex variable. The functions of a hyperbolic twocomplex variable which are defined by power series are analytic. Relations of equality exist between partial derivatives of the real components a function of a hyperbolic twocomplex variable. The integral of a twocomplex function between two points is independent of the path connecting the points. A hyperbolic twocomplex polynomial can be written as a product of linear or quadratic factors, although the factorization may not be unique.

研究动机与目标

• 开发一个具有交换与结合乘法的二维超复数系统，支持类比于复分析的函数理论。
• 为双曲复数定义指数与三角形式，类比于普通复数的极坐标形式。
• 建立双曲复变函数为解析的条件，通过其实部分量之间的偏微分关系。
• 证明在正则区域中，双曲复函数的围线积分具有路径无关性。
• 探讨双曲复多项式的因式分解，表明其可表示为一次或二次因式的乘积，但不唯一。

提出的方法

• 将双曲复数定义为 $ u = x + \bar{\rho}y $，其中 $ \bar{\rho}^2 = 1 $，并通过分量规则建立代数运算：$ (x,y) + (x',y') = (x+x', y+y') $，$ (x,y)(x',y') = (xx'+yy', xy'+yx') $。
• 推导出当 $ x+y > 0 $，$ x-y > 0 $ 时，指数形式 $ u = \rho \text{exp}(\bar{\rho}\theta/2) $，其中振幅 $ \rho = (x^2 - y^2)^{1/2} $，参数 $ \theta = \text{ln}(\tan \theta) $，且 $ \tan \theta = (x+y)/(x-y) $。
• 通过幂级数表达双曲复变量的初等函数，其收敛区域为与直线 $ x = \bar{\rho}y $ 对齐的矩形。
• 通过导数存在且与方向无关来建立解析性，导出偏微分关系：$ \frac{\bar{\rho}P}{\bar{\rho}x} = \frac{\bar{\rho}Q}{\bar{\rho}y} $，$ \frac{\bar{\rho}P}{\bar{\rho}y} = \frac{\bar{\rho}Q}{\bar{\rho}x} $，其中 $ f(u) = P(x,y) + \bar{\rho}Q(x,y) $。
• 利用斯托克斯定理证明积分 $ \textstyle\bigcirc_{\text{A}}^{\text{B}} f(u) du $ 的路径无关性，条件为 $ \frac{\bar{\rho}P}{\bar{\rho}y} - \frac{\bar{\rho}Q}{\bar{\rho}x} = 0 $ 且 $ \frac{\bar{\rho}P}{\bar{\rho}x} - \frac{\bar{\rho}Q}{\bar{\rho}y} = 0 $。
• 通过变换 $ TUT^{-1} = \text{diag}(x+y, x-y) $，将双曲复数表示为不可约实矩阵，提供了一种使用实矩阵的实矩阵表示。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造一个具有交换与结合乘法的二维超复数系统，使其支持类比于复数的指数形式与解析函数理论？
• RQ2 通过幂级数定义的双曲复变函数是否具有解析性？其实部分量需满足何种微分条件？
• RQ3 在函数为正则的区域中，双曲复函数的围线积分是否与路径无关？
• RQ4 双曲复平面上多项式的因式分解与标准复平面上相比如何？是否唯一？
• RQ5 双曲复数能否用实矩阵表示？此类表示的结构是什么？

主要发现

• 双曲复数系统 $ u = x + \bar{\rho}y $，其中 $ \bar{\rho}^2 = 1 $，具有指数形式 $ u = \rho \text{exp}(\bar{\rho}\theta/2) $，其中 $ \rho = (x^2 - y^2)^{1/2} $，$ \theta = \text{ln}(\tan \theta) $，且 $ \tan \theta = (x+y)/(x-y) $，在 $ x+y > 0 $，$ x-y > 0 $ 时成立。
• 双曲复变量的初等函数通过幂级数定义，其收敛区域为与直线 $ x = \bar{\rho}y $ 对齐的矩形。
• 解析函数 $ f(u) = P(x,y) + \bar{\rho}Q(x,y) $ 满足偏微分关系 $ \frac{\bar{\rho}P}{\bar{\rho}x} = \frac{\bar{\rho}Q}{\bar{\rho}y} $ 与 $ \frac{\bar{\rho}P}{\bar{\rho}y} = \frac{\bar{\rho}Q}{\bar{\rho}x} $，意味着 $ P $ 与 $ Q $ 满足二维波动方程。
• 在单连通区域中，若函数为正则，则双曲复函数的围线积分为路径无关，这是通过斯托克斯定理证明的，即当 $ \frac{\bar{\rho}P}{\bar{\rho}y} - \frac{\bar{\rho}Q}{\bar{\rho}x} $ 与 $ \frac{\bar{\rho}P}{\bar{\rho}x} - \frac{\bar{\rho}Q}{\bar{\rho}y} $ 恒为零时成立。
• 双曲复多项式可分解为实系数的一次或二次因式乘积，但因 $ v_+ $ 与 $ v_- $ 分量中根的排列顺序任意，故分解不唯一。
• 该系统可通过 $ TUT^{-1} = \text{diag}(x+y, x-y) $ 实现实矩阵表示，提供了一种使用实矩阵的不可约表示。