[论文解读] Hyperbolic components in spaces of polynomial maps

John Milnor, Alfredo Poirier|arXiv (Cornell University)|Feb 22, 1992

Mathematical Dynamics and Fractals被引用 24

一句话总结

该论文证明了在次数为 $d$ 的多项式映射空间中，每个双曲组件均为一个拓扑胞腔，且包含唯一一个后临界有限映射，即该组件的中心。论文引入了约化映射模式 $\bar{S}(f)$ 作为拓扑不变量，用于分类双曲组件，并证明具有同构模式的组件之间存在典范全纯同构。附录中 Poirier 证明了通过扩张的抽象 Hubbard 树构造，任一此类模式均可由后临界有限多项式实现。

ABSTRACT

We consider polynomial maps $f:\C o\C$ of degree $d\ge 2$, or more generally polynomial maps from a finite union of copies of $\C$ to itself which have degree two or more on each copy. In any space $\p^{S}$ of suitably normalized maps of this type, the post-critically bounded maps form a compact subset $\cl^{S}$ called the connectedness locus, and the hyperbolic maps in $\cl^{S}$ form an open set $\hl^{S}$ called the hyperbolic connectedness locus. The various connected components $H_α\subset \hl^{S}$ are called hyperbolic components. It is shown that each hyperbolic component is a topological cell, containing a unique post-critically finite map which is called its center point. These hyperbolic components can be separated into finitely many distinct ``types'', each of which is characterized by a suitable reduced mapping schema $\bar S(f)$. This is a rather crude invariant, which depends only on the topology of $f$ restricted to the complement of the Julia set. Any two components with the same reduced mapping schema are canonically biholomorphic to each other. There are similar statements for real polynomial maps, or for maps with marked critical points.

研究动机与目标

• 通过拓扑不变量对多项式映射空间中的双曲组件进行分类。
• 证明每个双曲组件均为包含唯一一个后临界有限中心映射的拓扑胞腔。
• 证明具有同构约化映射模式的双曲组件之间存在典范全纯同构。
• 将分类方法扩展至实多项式映射及带标记临界点的映射。
• 通过抽象 Hubbard 树构造，证明任一约化映射模式均可由后临界有限多项式实现。

提出的方法

• 从 $f$ 在填充若尔当集各连通分支上的动力学构造约化映射模式 $\bar{S}(f) = (|\bar{S}|, \bar{F}, \bar{w})$。
• 为每个模式 $S$ 构造 Blaschke 乘积的标准模型空间 $B(S)$，形成主双曲组件 $H^0_S$。
• 利用 Douady-Hubbard 直线化（手术）方法，证明每个具有模式 $S$ 的双曲组件微分同胚于 $B(S)$，且在自同构群 $\bar{G}(S)$ 意义下唯一。
• 证明该微分同胚实际上是一个典范全纯同构，从而确立具有相同模式的组件之间的全纯等价性。
• 通过在临界点之间添加非临界顶点，从 $\bar{S}$ 构造非约化的模式 $S$，以建模动力系统。
• 通过扩张的抽象 Hubbard 树实现非约化模式 $S$，从而保证存在一个实现 $\bar{S}$ 的后临界有限多项式。

实验结果

研究问题

• RQ1 在次数为 $d$ 的多项式映射空间中，所有双曲组件是否都是拓扑胞腔？
• RQ2 双曲组件的结构能否通过填充若尔当集上动力学导出的拓扑不变量来分类？
• RQ3 是否存在具有相同约化映射模式的双曲组件之间的典范全纯同构？
• RQ4 任一抽象约化映射模式是否均可由后临界有限多项式实现？
• RQ5 实多项式映射的形式与双曲组件的分类之间有何关系？

主要发现

• 在首一、中心化的 $d$ 次多项式空间中，每个双曲组件 $H_\alpha$ 均为一个拓扑胞腔。
• 每个双曲组件均包含唯一一个后临界有限映射，称为其中心点。
• 具有同构约化映射模式的双曲组件彼此之间存在典范全纯同构。
• 约化映射模式 $\bar{S}(f)$ 是一个拓扑不变量，可将双曲组件分类为有限类。
• 每个约化映射模式 $\bar{S}$ 均可由后临界有限多项式实现，该结论通过构造扩张的抽象 Hubbard 树得以证明。
• 对于实多项式映射，当 $d$ 为偶数时存在 $d/2$ 个不同的实形式，当 $d$ 为奇数时存在 $d+1$ 个，对应于不同数量的实临界点。