[论文解读] Hyperbolic Dehn surgery on geometrically infinite 3-manifolds

Kenneth Bromberg|ArXiv.org|Sep 15, 2000

Geometric and Algebraic Topology参考文献 13被引用 5

一句话总结

本文通过在端点拟合线的孤立曲线上使用德恩填充构造几何无限端的拟等距形变，将瑟斯顿的双曲德恩填充定理推广至几何无限三维流形。关键结果表明，具有几何无限端且无意外抛物线的克林安群可被无秩一柄型的群逼近，从而在拟共形形变空间中建立了稠密性结果。

ABSTRACT

In this paper we extend Thurston's hyperbolic Dehn surgery theorem to a class of geometrically infinite hyperbolic 3-manifolds. As an application we prove a modest density theorem for Kleinian groups. We also discuss hyperbolic Dehn surgery on geometrically finite hypebolic cone-manifolds.

研究动机与目标

• 将瑟斯顿的双曲德恩填充定理推广至几何无限双曲三维流形，此前因缺乏稳定性而使原有方法失效。
• 通过证明几何无限流形中具有秩一柄型的群可被无此类柄型的群逼近，建立克林安群的稠密性定理。
• 分析在无意外抛物线存在时，端点拟合线与拟共形形变在几何无限端的行为。
• 证明克林安群 Γ 的拟共形形变空间包含于相关群 Γ₀ 的拟共形形变空间的闭包中，后者具有更简单的端点拟合线。
• 探索几何无限端是否存在一个保持拟等距类型的半维子空间，类似于几何有限情形。

提出的方法

• 使用克林安-马斯基特组合定理，通过将原群与端点拟合线中曲线对应的抛物等距变换组合，构造新群 ɣ₀。
• 应用定理 7.4 对流形的紧致核心执行 ({1},{n})-德恩填充，生成一系列与原始 M 同胚的双曲流形 Mₙ。
• 构造 π₁(N) 的表示序列 ρₙ，使其收敛于原始的全纯表示 ρ，确保 Mₙ 与 M 拟等距。
• 利用无意外抛物线的几何无限端的半稳定性，确保 Mₙ 与 Mₙ′ 的端点拟等距，从而保持拟共形形变空间。
• 利用紧致核心包含于填充流形中诱导的同伦等价，构造收敛于原始群的表示序列。
• 利用端点拟合线猜想及端点拟合线的包含关系，比较 Γ 与 Γ₀ 的拟共形形变空间，证明 QD(Γ) ⊂ QD(Γ₀)̄。

实验结果

研究问题

• RQ1 瑟斯顿的德恩填充定理能否推广至几何无限三维流形，特别是具有秩一柄型的流形？
• RQ2 在何种条件下，几何无限双曲三维流形可被无秩一柄型的流形逼近？
• RQ3 是否存在几何无限端的形变空间中一个保持拟等距类型的半维子空间，类似于几何有限情形？
• RQ4 在无意外抛物线存在时，端点拟合线与拟共形形变如何相互作用？
• RQ5 克林安群的拟共形形变空间与其具有简化端点拟合线的相关群的形变空间之间存在何种关系？

主要发现

• 德恩填充定理被推广至具有不可压缩几何无限端且无意外抛物线的几何无限三维流形。
• 对于此类流形，除有限多个外，所有 ({1},{n})-德恩填充均产生与原流形拟等距的双曲结构。
• 所得填充流形 Mₙ 同胚于原始流形 M，且其表示 ρₙ 收敛于原始全纯表示 ρ。
• 原始群 Γ 的拟共形形变空间包含于相关群 Γ₀ 的拟共形形变空间的闭包中，后者具有简化端点拟合线。
• 该构造依赖于无意外抛物线的几何无限端中拟共形形变的存在性，确保半稳定性。
• 本文建立了一个有限稠密性定理：通过德恩填充，具有秩一柄型的几何无限流形可被无此类柄型的流形逼近。