[论文解读] Hyperbolic hyperbolic-by-cyclic groups are cubulable

François Dahmani, Suraj Krishna M S+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 26, 2023

Geometric and Algebraic Topology被引用 1

一句话总结

本文证明了当基群 G 和半直积 G ⋊ ℤ 均为双曲群时，双曲群与 ℤ 的半直积（即双曲-循环群）是可立方化的。证明使用了相对立方化技术、非正规特殊立方体定理，并扩展了关于自由-循环群与无 torsion 的双曲群的先前结果，最终表明此类群是虚拟特殊的，并允许存在 Anosov 表示。

ABSTRACT

We show that the mapping torus of a hyperbolic group by a hyperbolic automorphism is cubulable. Along the way, we (i) give an alternate proof of Hagen and Wise's theorem that hyperbolic free-by-cyclic groups are cubulable, and (ii) extend to the case with torsion Brinkmann's thesis that a torsion-free hyperbolic-by-cyclic group is hyperbolic if and only if it does not contain $\mathbb{Z}^2$-subgroups.

研究动机与目标

• 建立在基群 G 与半直积 G ⋊ ℤ 均为双曲群的条件下，双曲-循环群是可立方化的结论。
• 通过相对立方化方法，提供对 Hagen 和 Wise 关于双曲自由-循环群可立方化结果的另一种证明。
• 将 Brinkmann 关于双曲-循环群双曲性的定理推广至含 torsion 的情形，证明此类群为双曲群当且仅当其不含 Z² 子群。
• 证明双曲-循环群是虚拟特殊的、Z-线性的，并且是共轭分离的，利用其可立方化性以及特殊立方复形的已知性质。

提出的方法

• 通过 Dahmani 与 M.（2023）的工作，对自由积-循环群使用相对立方化，建立在 Groves 与 Manning 关于 CAT(0) 立方复形上非正规作用的理论基础上。
• 应用 Hsu 与 Wise 的非正规特殊立方体定理，当群沿非正规无限循环子群分裂时，推导出其可立方化性。
• 采用望远镜论证法，将一般情形约化为曲面群与自由群的典型情形，利用其已知的立方化结构。
• 利用 Dunwoody–Stallings 分解分析 G 的单连通子群，证明当 G ⋊ ℤ 为双曲群时，这些子群是虚拟曲面群。
• 利用 G 存在有限指数无 torsion 子群且该子群为自由群与闭曲面群的自由积这一事实，使已知的可立方化结果得以应用。
• 利用结果：虚拟可立方化的双曲群是可立方化的（Wisdom, 2021, 引理 7.14），将可立方化性从有限指数子群提升至整个群。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，双曲-循环群是可立方化的？
• RQ2 能否通过相对立方化与非正规特殊立方体定理，重新证明双曲自由-循环群的可立方化性？
• RQ3 能否将双曲-循环群双曲性的刻画（即不含 Z² 子群）推广至含 torsion 的群？
• RQ4 若双曲群允许一个双曲自同态，则其具有何种代数结构？
• RQ5 能否从有限指数无 torsion 子群的可立方化性，推导出 G ⋊ ℤ 的可立方化性？

主要发现

• 双曲-循环群是可立方化的，当且仅当基群 G 与半直积 G ⋊ ℤ 均为双曲群。
• G 的有限指数无 torsion 子群是自由群与闭曲面群的自由积，确认 G 是虚拟无 torsion 的且是剩余有限的。
• 群 G ⋊ ℤ 是虚拟特殊的，因其可立方化且虚拟紧致特殊。
• 群 G ⋊ ℤ 是 Z-线性的，其拟凸子群是可分离的，这由其可立方化性及 Hagen 与 Wise 的结果所保证。
• 群 G ⋊ ℤ 虚拟地满射到 F₂，这是其可立方化性与虚拟特殊性的结果。
• 群 G ⋊ ℤ 允许 Anosov 表示，这由可立方化双曲群的虚拟特殊性所保证。